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% \PassOptionsToClass{twocolumn}{ctexbook} % 这个得在设置文档类之前使用才有效
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% \PassOptionsToPackage{twocolumn}{ctexbook} % 这样没用
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\documentclass[全部作业]{subfiles}
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% \usepackage{multicol} % 已经放到mypreamble里了
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% 以下这样和\setlength{\columnseprule}{1pt}应该是一样的
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\columnseprule=1pt
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\columnsep=30pt
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\pagestyle{fancyplain}
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\fancyhead{}
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\fancyhead[C]{\mysignature}
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\setcounter{chapter}{4}
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\begin{document}
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\chapter{关系}
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\section{关系的概念}
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\begin{enumerate}
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\item 集合$X=\{a,b,c\}$上的一个关系R的关系矩阵如下，请写出这个关系。（注：矩阵的第1、2、3行以及第1、2、3列，分别对应X中的元素a、b、c）。
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$$
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\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\\end{bmatrix}
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$$
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\begin{proof}[解]
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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R = \{ (a,a),(a,c),(b,b), (c,a), (c,c) \}
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\end{aligned}
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$$
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\end{zhongwen}
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\end{proof}
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\item 一集合上的一个关系的关系图如下图所示，请写出这个关系。
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\begin{center}
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\includegraphics[width=0.3\linewidth]{imgs/2023-11-11-10-13-03.png}
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\end{center}
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\begin{proof}[解]
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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R=\{ (a,a),(a,b),(b,a),(b,b),\\(c,a),(c,c),(c,d),(d,d) \}
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\end{aligned}
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$$
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\end{zhongwen}
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\end{proof}
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\item 设X和Y都是有限集，$|X|=m$，$|Y|=n$。问X到Y的不同的关系有多少个？
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\begin{proof}[解]
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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X到Y的不同的关系有2^{m\times n}个。
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\end{aligned}
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$$
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\end{zhongwen}
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\end{proof}
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\end{enumerate}
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\section{关系的运算}
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\begin{enumerate}
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\item 设R是X到Y的二元关系，S是Y到Z的二元关系，证明$(R \circ S)^{-1}=S^{-1}\circ R^{-1}$。
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\begin{proof}
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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\forall (z, x),\qquad &(z, x)\in (R\circ S)^{-1} \\
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\iff& (x, z)\in R\circ S \\
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\iff&\exists y\in Y, \ \ \text{s.t.} \ (x,y)\in R \land (y,z)\in S \\
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\iff& \exists y\in Y,\ \ \text{s.t.} \ (y,x)\in R^{-1}\land (z,y)\in S^{-1} \\
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\iff&(z,x)\in S^{-1}\circ R^{-1} \\
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\end{aligned}
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$$
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$$
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\therefore (R\circ S)^{-1}=S^{-1}\circ R^{-1}
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$$
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\end{zhongwen}
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\end{proof}
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\item 设R、S、T都是X上的关系。证明：$R\circ (S\cap T)\subseteq (R\circ S)\cap (R\circ T)$, $(R\cap S)\circ T \subseteq (R\circ T)\cap (S\circ T)$。
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\begin{proof}
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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&\forall (x,w)\in R\circ (S\cap T) \\
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&即 \exists y\in X,\ \ \text{s.t.} \ (x,y)\in R\land (y,w)\in S\cap T \\
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&\therefore (x,y)\in R, (y,w)\in S,(y,w)\in T \\
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&\therefore (x,w)\in R\circ S, (x,w)\in R\circ T \\
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|
&\therefore (x,w)\in (R\circ S)\cap (R\circ T) \\
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|
&\therefore R\circ (S\cap T)\subseteq (R\circ T)\cap (S\circ T) \\
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\end{aligned}
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$$
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|
$$
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\begin{aligned}
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&\forall (x,w)\in (R\cap S)\circ T \\
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|
&即\exists z\in X,\ \ \text{s.t.} \ (x,z)\in R\cap S\land (z,w)\in T \\
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|
&\therefore (x,z)\in R,(x,z)\in S,(z,w)\in T \\
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|
|
&\therefore (x,w)\in R\circ T,(x,w)\in S\circ T \\
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|||
|
|
&\therefore (x,w)\in (R\circ T)\cap (S\circ T) \\
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|
|
&\therefore (R\cap S)\circ T \subseteq (R\circ T)\cap (S\circ T) \\
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|
\end{aligned}
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|
$$
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\end{zhongwen}
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\end{proof}
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\end{enumerate}
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\section{关系的特殊性质及其闭包}
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\begin{enumerate}
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\item 下列关系是否是自反、反自反、对称、反对称和传递的？
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\begin{enumerate}
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|
\item 集合$X=\{1,2,…,9,10\}$，$X$上的关系$R=\{(x,y) | x+y=10\}$
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\item 任意集合$X$上的恒等关系$I_{X}$。
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\item 任意集合$X$上的空关系$\varnothing $。
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\begin{table}[H]
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\centering
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\tabcolsep=0.5em
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\begin{tabular}{c|ccccc}
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\toprule
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关系 & 自反 & 反自反 & 对称 & 反对称 & 传递\\
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\midrule
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(1) $R$ &否 & 否 & 是 & 否 & 否 \\
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(2) $I_{X}$ &是 & 否 & 是 & 是 & 是 \\
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(3) $\varnothing $ &否 & 是 & 是 & 是 & 是 \\
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\bottomrule
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\end{tabular}
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\end{table}
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\end{enumerate}
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\item 设$X$是所有人组成的集合，定义$X$上的关系$R_1$和$R_2$：$aR_1b$当且仅当$a$比$b$高，$aR_2b$当且仅当$a$和$b$有共同的祖父母。问关系$R_1$和$R2$是否是自反、反自反、对称、反对称、传递的？
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\begin{table}[H]
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|
\centering
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|
\begin{tabular}{c|ccccc}
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|
\toprule
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|
关系 & 自反 & 反自反 & 对称 & 反对称 & 传递\\
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\midrule
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|
$R_1$ & 否 & 是 & 否 & 是 & 是 \\
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|
$R_2$ & 是 & 否 & 是 & 否 & 是 \\
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\bottomrule
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\end{tabular}
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\end{table}
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\item* 下面的论证试图证明：如果集合S上的关系R是对称和传递的，那么R必定也是自反的。请指出其中的错误。\\
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“由对称性，从xRy可推出yRx，再由传递性，可从xRy和yRx推出xRx。于是，对任意x$\in $S，xRx成立，所以R是自反的”
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\begin{proof}[解]
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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&对于\forall x\in S,并不一定\exists y\in S,\ \ \text{s.t.} \ xRy \\
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&当\lnot\exists y(y\in S\land xRy)时上述论证无效。 \\
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\end{aligned}
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|
$$
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\end{zhongwen}
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\end{proof}
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\item 证明：若$R$是$X$上自反和传递的关系，则$R^2$=$R$。
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\begin{proof}
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\begin{zhongwen}
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|
$$
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\begin{aligned}
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&\forall (x,z)\in R^{2}\\
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&\Rightarrow\exists y\in X,\ \ \text{s.t.} \ (x,y)\in R\land (y,z)\in R \\
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&\because R是传递的 \\
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&\therefore (x,z)\in R \\
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&\therefore R^{2} \subseteq R \\
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&\forall (x,z)\in R \\
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&\because R是自反的 \\
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&\therefore (z,z)\in R \\
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&\therefore (x,z) \in R^{2} \\
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&\therefore R \subseteq R^{2} \\
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&综上所述，R^{2}=R \\
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\end{aligned}
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|
$$
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|
\end{zhongwen}
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\end{proof}
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\item 设$X$是有限集，$|X|=n$。问$X$上有多少个不同的：
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\begin{enumerate}
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\item* 对称关系？
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\begin{zhongwen}
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$$
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即n维对称矩阵的个数，
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$$
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$$
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2^{\frac{n(n+1)}{2}}
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|
$$
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\end{zhongwen}
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\item* 反对称关系？
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\begin{zhongwen}
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|
$$
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|
\begin{aligned}
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&n维矩阵的每组对称位置只有00、01、10\\
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&三种情况，对角线每个位置可以为0或1，\\
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|
\end{aligned}
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|
$$
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|
$$
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3^{\frac{n(n-1)}{2}}\times 2^{n}
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$$
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\end{zhongwen}
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\item 既非自反又非反自反的关系？
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\begin{zhongwen}
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|
$$
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即对角线既不是全1，也不是全0的n维矩阵个数，
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$$
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|
$$
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|
(2^{n}-2)\times 2^{n^{2}-n}
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|
$$
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|
\end{zhongwen}
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|
\end{enumerate}
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|
|
\item 设$R_1$和$R_2$是$X$上的关系。证明$t(R_1\cup R_2)\supseteq t(R_1)\cup t(R_2)$。
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\begin{proof}
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\begin{zhongwen}
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|
$$
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|
\begin{aligned}
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&\because t(R)=\bigcup_{i=1} ^{\infty}R^{i} \\
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&\therefore 原式可转化为\bigcup_{i=1} ^{\infty}(R_1\cup R_2)^{i}\supseteq \bigcup_{j=1} ^{\infty}R_1^{j}\cup \bigcup_{k=1} ^{\infty}R_2^{k} \\
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&之后实在不会做了。 \\
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\end{aligned}
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|
$$
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|
\end{zhongwen}
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\end{proof}
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\end{enumerate}
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\end{document}
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