% \PassOptionsToClass{twocolumn}{ctexbook} % 这个得在设置文档类之前使用才有效 % \PassOptionsToPackage{twocolumn}{ctexbook} % 这样没用 \documentclass[全部作业]{subfiles} % \usepackage{multicol} % 已经放到mypreamble里了 % 以下这样和\setlength{\columnseprule}{1pt}应该是一样的 \columnseprule=1pt \columnsep=30pt \pagestyle{fancyplain} \fancyhead{} \fancyhead[C]{\mysignature} \setcounter{chapter}{4} \begin{document} \chapter{关系} \section{关系的概念} \begin{enumerate} \item 集合$X=\{a,b,c\}$上的一个关系R的关系矩阵如下，请写出这个关系。（注：矩阵的第1、2、3行以及第1、2、3列，分别对应X中的元素a、b、c）。 $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\\end{bmatrix} $$ \begin{proof}[解] \begin{zhongwen} $$ \begin{aligned} R = \{ (a,a),(a,c),(b,b), (c,a), (c,c) \} \end{aligned} $$ \end{zhongwen} \end{proof} \item 一集合上的一个关系的关系图如下图所示，请写出这个关系。 \begin{center} \includegraphics[width=0.3\linewidth]{imgs/2023-11-11-10-13-03.png} \end{center} \begin{proof}[解] \begin{zhongwen} $$ \begin{aligned} R=\{ (a,a),(a,b),(b,a),(b,b),\\(c,a),(c,c),(c,d),(d,d) \} \end{aligned} $$ \end{zhongwen} \end{proof} \item 设X和Y都是有限集，$|X|=m$，$|Y|=n$。问X到Y的不同的关系有多少个？ \begin{proof}[解] \begin{zhongwen} $$ \begin{aligned} X到Y的不同的关系有2^{m\times n}个。 \end{aligned} $$ \end{zhongwen} \end{proof} \end{enumerate} \section{关系的运算} \begin{enumerate} \item 设R是X到Y的二元关系，S是Y到Z的二元关系，证明$(R \circ S)^{-1}=S^{-1}\circ R^{-1}$。 \begin{proof} \begin{zhongwen} $$ \begin{aligned} \forall (z, x),\qquad &(z, x)\in (R\circ S)^{-1} \\ \iff& (x, z)\in R\circ S \\ \iff&\exists y\in Y, \ \ \text{s.t.} \ (x,y)\in R \land (y,z)\in S \\ \iff& \exists y\in Y,\ \ \text{s.t.} \ (y,x)\in R^{-1}\land (z,y)\in S^{-1} \\ \iff&(z,x)\in S^{-1}\circ R^{-1} \\ \end{aligned} $$ $$ \therefore (R\circ S)^{-1}=S^{-1}\circ R^{-1} $$ \end{zhongwen} \end{proof} \item 设R、S、T都是X上的关系。证明：$R\circ (S\cap T)\subseteq (R\circ S)\cap (R\circ T)$, $(R\cap S)\circ T \subseteq (R\circ T)\cap (S\circ T)$。 \begin{proof} \begin{zhongwen} $$ \begin{aligned} &\forall (x,w)\in R\circ (S\cap T) \\ &即 \exists y\in X,\ \ \text{s.t.} \ (x,y)\in R\land (y,w)\in S\cap T \\ &\therefore (x,y)\in R, (y,w)\in S,(y,w)\in T \\ &\therefore (x,w)\in R\circ S, (x,w)\in R\circ T \\ &\therefore (x,w)\in (R\circ S)\cap (R\circ T) \\ &\therefore R\circ (S\cap T)\subseteq (R\circ T)\cap (S\circ T) \\ \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} &\forall (x,w)\in (R\cap S)\circ T \\ &即\exists z\in X,\ \ \text{s.t.} \ (x,z)\in R\cap S\land (z,w)\in T \\ &\therefore (x,z)\in R,(x,z)\in S,(z,w)\in T \\ &\therefore (x,w)\in R\circ T,(x,w)\in S\circ T \\ &\therefore (x,w)\in (R\circ T)\cap (S\circ T) \\ &\therefore (R\cap S)\circ T \subseteq (R\circ T)\cap (S\circ T) \\ \end{aligned} $$ \end{zhongwen} \end{proof} \end{enumerate} \section{关系的特殊性质及其闭包} \begin{enumerate} \item 下列关系是否是自反、反自反、对称、反对称和传递的？ \begin{enumerate} \item 集合$X=\{1,2,…,9,10\}$，$X$上的关系$R=\{(x,y) | x+y=10\}$ \item 任意集合$X$上的恒等关系$I_{X}$。 \item 任意集合$X$上的空关系$\varnothing $。 \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=0.5em \begin{tabular}{c|ccccc} \toprule 关系 & 自反 & 反自反 & 对称 & 反对称 & 传递\\ \midrule (1) $R$ &否 & 否 & 是 & 否 & 否 \\ (2) $I_{X}$ &是 & 否 & 是 & 是 & 是 \\ (3) $\varnothing $ &否 & 是 & 是 & 是 & 是 \\ \bottomrule \end{tabular} \end{table} \end{enumerate} \item 设$X$是所有人组成的集合，定义$X$上的关系$R_1$和$R_2$：$aR_1b$当且仅当$a$比$b$高，$aR_2b$当且仅当$a$和$b$有共同的祖父母。问关系$R_1$和$R2$是否是自反、反自反、对称、反对称、传递的？ \begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{c|ccccc} \toprule 关系 & 自反 & 反自反 & 对称 & 反对称 & 传递\\ \midrule $R_1$ & 否 & 是 & 否 & 是 & 是 \\ $R_2$ & 是 & 否 & 是 & 否 & 是 \\ \bottomrule \end{tabular} \end{table} \item* 下面的论证试图证明：如果集合S上的关系R是对称和传递的，那么R必定也是自反的。请指出其中的错误。\\ “由对称性，从xRy可推出yRx，再由传递性，可从xRy和yRx推出xRx。于是，对任意x$\in $S，xRx成立，所以R是自反的” \begin{proof}[解] \begin{zhongwen} $$ \begin{aligned} &对于\forall x\in S,并不一定\exists y\in S,\ \ \text{s.t.} \ xRy \\ &当\lnot\exists y(y\in S\land xRy)时上述论证无效。 \\ \end{aligned} $$ \end{zhongwen} \end{proof} \item 证明：若$R$是$X$上自反和传递的关系，则$R^2$=$R$。 \begin{proof} \begin{zhongwen} $$ \begin{aligned} &\forall (x,z)\in R^{2}\\ &\Rightarrow\exists y\in X,\ \ \text{s.t.} \ (x,y)\in R\land (y,z)\in R \\ &\because R是传递的 \\ &\therefore (x,z)\in R \\ &\therefore R^{2} \subseteq R \\ &\forall (x,z)\in R \\ &\because R是自反的 \\ &\therefore (z,z)\in R \\ &\therefore (x,z) \in R^{2} \\ &\therefore R \subseteq R^{2} \\ &综上所述，R^{2}=R \\ \end{aligned} $$ \end{zhongwen} \end{proof} \item 设$X$是有限集，$|X|=n$。问$X$上有多少个不同的： \begin{enumerate} \item* 对称关系？ \begin{zhongwen} $$ 即n维对称矩阵的个数， $$ $$ 2^{\frac{n(n+1)}{2}} $$ \end{zhongwen} \item* 反对称关系？ \begin{zhongwen} $$ \begin{aligned} &n维矩阵的每组对称位置只有00、01、10\\ &三种情况，对角线每个位置可以为0或1，\\ \end{aligned} $$ $$ 3^{\frac{n(n-1)}{2}}\times 2^{n} $$ \end{zhongwen} \item 既非自反又非反自反的关系？ \begin{zhongwen} $$ 即对角线既不是全1，也不是全0的n维矩阵个数， $$ $$ (2^{n}-2)\times 2^{n^{2}-n} $$ \end{zhongwen} \end{enumerate} \item 设$R_1$和$R_2$是$X$上的关系。证明$t(R_1\cup R_2)\supseteq t(R_1)\cup t(R_2)$。 \begin{proof} \begin{zhongwen} $$ \begin{aligned} &\because t(R)=\bigcup_{i=1} ^{\infty}R^{i} \\ &\therefore 原式可转化为\bigcup_{i=1} ^{\infty}(R_1\cup R_2)^{i}\supseteq \bigcup_{j=1} ^{\infty}R_1^{j}\cup \bigcup_{k=1} ^{\infty}R_2^{k} \\ &之后实在不会做了。 \\ \end{aligned} $$ \end{zhongwen} \end{proof} \end{enumerate} \end{document}