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\documentclass[全部作业]{subfiles}
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\pagestyle{fancyplain}
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\fancyhead{}
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\fancyhead[C]{\mysignature}
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\setcounter{chapter}{5}
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\setcounter{section}{3}
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\begin{document}
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\section{等价关系和划分}
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\begin{enumerate}
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\item 设X是所有人组成的集合，如下定义的关系哪些是X上的等价关系？
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\begin{enumerate}[rightmargin=\linewidth/3]
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\item $\{ \left. (a,b) \right|\text{a是b的兄弟} \}$\hfill 不是
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\item $\{ \left. (a,b) \right|\text{a与b的年龄相差不超过3岁} \}$\hfill 不是
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\item $\{ \left. (a,b) \right|\text{a和b有相同的祖父} \}$\hfill 是
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\item $\{ \left. (a,b) \right|\text{a与b相识} \}$\hfill 不是
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\item $\{ \left. (a,b) \right|\text{a与b会说同一种语言} \}$\hfill 是
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\end{enumerate}
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\item 若$R_1$和$R_2$是$X$上的等价关系，则$X^{2}-R_1$、$R_1-R_2$、$R_1^{2}$、$t(R_1\cup R_2)$是否也都是$X$上的等价关系？为什么？
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\begin{proof}[解]
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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&\because \forall x \in X, (x,x)\in R_1 \quad \therefore (x,x)\not \in X^{2}-R_1 \quad\therefore X^{2}-R_1不是X上的等价关系；\\
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\\
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&\because X^{2}是X上的等价关系 \quad \therefore 若取R_1=X^{2}，则R_1-R_2不是X上的等价关系； \\
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&若取R_2=\varnothing ，则R_1-R_2是X上的等价关系； \\
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&\therefore R_1-R_2不一定是X上的等价关系 \\
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\\
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&R_1^{2}=R_1，是X上的等价关系 \\
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\\
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&\forall x\in X，(x,x)\in R_1 \subseteq R_1\cup R_2\subseteq t(R_1\cup R_2) \quad\therefore t(R_1\cup R_2)是自反关系\\
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&由上一节的例题可知，对称关系的并也是对称关系，对称关系的传递闭包也是对称关系\\
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&\therefore t(R_1\cup R_2)是对称关系 \\
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&t(R_1\cup R_2)是传递闭包，所以是传递关系 \\
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&因此，t(R_1\cup R_2)是X上的等价关系 \\
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\end{aligned}
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$$
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\end{zhongwen}
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\end{proof}
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\item 设$X=\{ \left. (x,y) \right|\text{x和y是不为零的实数} \}$，$E$是$X$上的关系：$(x_1,y_1)E(x_2,y_2)$当且仅当$\displaystyle \frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}$且$x_1\cdot x_2>0$。
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证明$E$是$X$上的等价关系，并给出$[(x,y)]_{E}$的几何解释。
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\begin{proof}
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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&\forall (x,y)\in X，则x \neq 0,y\neq 0\quad\therefore x\cdot x=x^{2}>0,\frac{y}{x}=\frac{y}{x} \quad \therefore (x,y)E(x,y)，即E是自反关系 \\
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&\forall ((x_1,y_1),(x_2,y_2))\in E，即x_1\cdot x_2>0,\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}，则x_2\cdot x_1>0,\frac{y_2}{x_2}=\frac{y_1}{x_1} \\
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&\therefore ((x_2,y_2),(x_1,y_1))\in E，即 E是对称关系 \\
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&\forall ((x_1,y_1),(x_2,y_2)),((x_2,y_2),(x_3,y_3))\in E，即x_1\cdot x_2>0,x_2\cdot x_3>0,\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2},\frac{y_2}{x_2}=\frac{y_3}{x_3}\\
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&\therefore x_1\cdot x_3>0,\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_3}{x_3}\quad \therefore ((x_1,y_1),(x_3,y_3))\in E，即E是传递关系 \\
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&\therefore E是X上的等价关系 \\
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&[(x,y)]_{E}表示从原点出发并经过(x,y)的某一条射线去除原点 \\
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\end{aligned}
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$$
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\end{zhongwen}
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\end{proof}
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\item 下面哪些$\mathbb{Z}$的子集簇构成$\mathbb{Z}$的划分？为什么？
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\begin{enumerate}
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\item \{偶数集,奇数集\}
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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&构成，令\pi =\{ 偶数集,奇数集 \}，则偶数集\neq \varnothing ，奇数集\neq \varnothing \\
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&偶数集\cap 奇数集=\varnothing,\quad 偶数集\cup 奇数集=\mathbb{Z} \\
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&\therefore \{ 偶数集,奇数集 \}构成\mathbb{Z}的划分 \\
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\end{aligned}
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$$
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\end{zhongwen}
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\item \{正整数集,负整数集\}
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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不构成，\because 0\in \mathbb{Z}，但0\not \in 正整数集\cup 负整数集，即正整数集\cup 负整数集\neq \mathbb{Z}
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\end{aligned}
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$$
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\end{zhongwen}
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\item \{能被3整除的整数的集合,被3除余数为1的整数的集合,被3除余数为2的整数的集合\}
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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构成，因为任何一个整数除以3的余数只能是0或1或2.
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\end{aligned}
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$$
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\end{zhongwen}
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\item \{小于-100的整数的集合,绝对值不超过100的整数的集合,大于100的整数的集合\}
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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构成，任何一个整数必然在且只在这三个集合中的某一个集合中。
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\end{aligned}
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$$
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\end{zhongwen}
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\item \{不能被3整除的整数的集合,偶数集合,被6除余数为3的整数的集合\}
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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&不构成，\because 2\in 不能被3整除的整数的集合\cap 偶数集合， \\
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&即 不能被3整除的整数的集合\cap 偶数集合\neq \varnothing \\
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\end{aligned}
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$$
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\end{zhongwen}
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\section{偏序关系}
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\begin{enumerate}
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\item 下列集合关于整除关系$|$构成偏序集。请分别画出它们的哈斯图，判断它们是否是全序集，给出它们的极大元、极小元、最大元、最小元。
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $\{ 2,4,8,16 \}$；
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% \centering
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% \includegraphics[1\linewidth]{imgs/5.5.1.drawio.png}
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\hspace{5em}\includesvgpdf[0.1]{5.5.1.drawio}
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极大元：16，极小元：2；\\
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最大元：16，最小元：2。
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\item $\{ 2,3,4,5,9,10,80 \}$。
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\includesvgpdf[0.8]{5.5.2.drawio}
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极大元：80、9，极小元：2、5、3；\\
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最大元：无，最小元：无。
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\pagebreak[2]
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\item 证明：
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\begin{enumerate}
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\item 偏序集的最小元也必定是其极小元；
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\begin{proof}
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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&对于任意的偏序集(X,\leqslant )，若a\in X是它的最小元，取个体域为X\\
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&则\forall x(a\leqslant x) \\
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&\because 偏序关系具有反对称性， \\
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&\therefore \forall x((x=a)\lor \lnot (x\leqslant a)) \\
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&\therefore \forall x(\lnot (x\neq a\land x\leqslant a)) \\
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&\therefore \lnot \exists x(x<a) \\
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&\therefore a是(X,\leqslant )的极小元 \\
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\end{aligned}
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$$
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\end{zhongwen}
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\end{proof}
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\item 任意全序集至多只有一个极小元，即全序集的极小元是唯一的。
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\begin{proof}
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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&对于任意的全序集(X,\leqslant )，假设a,b \in X都是它的极小元，取个体域为X \\
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&则\lnot \exists x(x<a)\land \lnot \exists y(y<b) \\
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&\therefore \forall x(\lnot (x<a))\land \forall y(\lnot (y<b)) \\
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&\therefore \lnot (b<a)\land \lnot (a<b) \\
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&\because (X,\leqslant )是全序集 \\
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&\therefore a\leqslant b\land b\leqslant a \\
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&\therefore a=b \\
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&因此，全序集的极小元是唯一的。 \\
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\end{aligned}
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$$
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\end{zhongwen}
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\end{proof}
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\end{enumerate}
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\item 设$R$是$X$上自反、传递的关系，$S=R\cap R^{-1}$。
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\begin{enumerate}
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\item 证明$S$是$X$上的等价关系。
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\begin{proof}
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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&\forall x\in X,(x,x)\in R\quad \therefore (x,x)\in R^{-1}\quad \therefore (x,x)\in R\cap R^{-1}=S，即S是自反关系 \\
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&\forall (x,y)\in S，即(x,y)\in R\land (x,y)\in R^{-1}\quad \therefore (y,x)\in R^{-1}\land (y,x)\in R\\
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&\therefore (y,x)\in R\cap R^{-1}=S，即S是对称关系\\
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&\forall (x,y),(y,z)\in S，即(x,y)\in R\land (x,y)\in R^{-1}\land (y,z)\in R\land (y,z)\in R^{-1} \\
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&\therefore (x,y)\in R\land (y,z)\in R,\quad (y,x)\in R\land (z,y)\in R \\
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&\therefore (x,z)\in R,(z,x)\in R \\
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&\therefore (x,z)\in R,(x,z)\in R^{-1}，即(x,z)\in R\cap R^{-1}=S，即S是传递关系 \\
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&因此，S是X上的等价关系。 \\
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\end{aligned}
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$$
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\end{zhongwen}
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\end{proof}
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\item 在$X/S$上定义关系$T: ([x]_{S},[y]_{S})\in T$当且仅当$(x,y)\in R$。证明$T$是$X/S$上的偏序关系。
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\begin{proof}
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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&\forall [x]_{S}\in X/S,则x\in X\quad \because R是X上的自反关系\quad \therefore (x,x)\in R\\
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&\therefore ([x]_{S},[x]_{S})\in T，即T是自反关系 \\
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&\forall ([x]_{S},[y]_{S})\in T，即(x,y)\in R，若[x]_{S}\neq [y]_{S}，则(x,y)\not \in S \\
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&\therefore (x,y)\not \in R\lor (x,y)\not \in R^{-1} \\
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&\because (x,y)\in R\quad \therefore (x,y)\not \in R^{-1} \quad \therefore (y,x)\not \in R\\
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&\therefore ([y]_{S},[x]_{S})\not \in T，即T是反对称关系 \\
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&\forall ([x]_{S},[y]_{S}),([y]_{S},[z]_{S})\in T，即(x,y)\in R,(y,z)\in R\\
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&\because R是X上的传递关系\quad \therefore (x,z)\in R \\
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&\therefore ([x]_{S},[z]_{S})\in T，即T是传递关系 \\
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&因此，T是X/S上的偏序关系。 \\
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\end{aligned}
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$$
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\end{zhongwen}
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\end{proof}
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{document} |