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\documentclass[全部作业]{subfiles}
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\pagestyle{fancyplain}
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\fancyhead{}
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\fancyhead[C]{\mysignature}
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\setcounter{chapter}{6}
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\begin{document}
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\chapter{图论基础}
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\section{图及其表示}
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\begin{enumerate}
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\item 6个学生：Alice、Bob、Carol、Dean、Santos和tom，其中，Alice和Carol不和，Dean和Carol不和，Santos、Tom和Alice两两不和。请给出表示这种情形的图模型。
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\begin{zhongwen}
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用顶点表示学生，如果两个学生之间不和则连一条无向边，则可以表示成左图；如果两个学生相和则连一条无向边，则可以表示成右图。
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\subfloat[不和图]{
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\includesvgpdf[0.4]{7.1.1.drawio}
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}
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\hfill
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\subfloat[相和图]{
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\includesvgpdf[0.4]{7.1.2.drawio}
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}
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\end{figure}
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\end{zhongwen}
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\item 至少含一个顶点的$C_3$的子图有多少个？
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\begin{zhongwen}
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\begin{proof}[解]
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含一个顶点的，点的情况有$\mathrm{C}_{3}^{1}=3$种，无法形成边，所以有$3\times 1=3$种情况；
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含两个顶点的，点的情况有$\mathrm{C}_{3}^{2}=3$种，可以没有边或者有1条边，所以有$3\times 2=6$种情况；
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含3个顶点的，点的情况有$\mathrm{C}_{3}^{3}=1$种，边的情况为$2^{3}$种，所以有$1\times 2^{3}=8$种情况。
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所以至少含一个顶点的$C_3$的子图有$3+6+8=17$个。
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\end{proof}
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\end{zhongwen}
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\item 证明：在顶点个数不小于2的简单无向图中，必有度数相同的顶点。
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\begin{zhongwen}
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\begin{proof}
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使用归纳法，首先，对于顶点数为2的简单无向图，这两个顶点之间要么有一条边要么没有边，而这两种情况它们的度都是相同的。
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假设对于顶点数为$k(k\geqslant 2)$的简单无向图，必有度数相同的顶点。那么对于顶点数为$k+1$的简单无向图，如果存在一个顶点的度为0，那么去除这个顶点后其他顶点构成$k$个顶点的简单无向图，因此它们之中必有度数相同的顶点。
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如果不存在一个顶点的度数为0，即所有顶点的度数都至少为1，之后就不会了。
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\end{proof}
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\end{zhongwen}
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\item 对哪些n值来说下列图是偶图？
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\begin{tasks}[](2)
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\task $K_n$
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\hfill $n = 2$ \hfill
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\task $C_n$
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\hfill $n\geqslant 3$且为偶数 \hfill
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\task $W_n$
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\hfill $n\in \varnothing $ \hfill
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\task $Q_n$
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\hfill $n$为任意正整数 \hfill
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\end{tasks}
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\end{enumerate}
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\section{握手定理}
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\begin{enumerate}
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\item 简单无向图$G$有$n$个顶点，$n+1$条边，证明$G$中至少有一个顶点的度大于或等于3。
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\begin{zhongwen}
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\begin{proof}
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反证法，设$G=(V,E)$，假设$G$中所有顶点的度都小于3，即$\forall v\in V$, $d(v)<3$即$d(v)\leqslant 2$，又已知$\left\vert V \right\vert =n$, $\left\vert E \right\vert =n+1$，那么根据握手定理，则有
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$$
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2(n+1)=2\left\vert E \right\vert =\sum_{v\in V}d(v)\leqslant 2n
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$$
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而这是不可能的，因此$G$中至少有一个顶点的度大于或等于3。
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\end{proof}
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\end{zhongwen}
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\item *一天晚上张先生夫妇参加了一个聚会，参加聚会的人中还有另外三对夫妇，他们相互握了手。假设没有人自己与自己握手，没有夫妻之间的握手，且同两个人握手不超过一次。当其他人告诉张先生，他或她握了多少次手时，答案都不相同。问张先生和太太分别握了几次手？
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\begin{zhongwen}
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想了半天也想不出来怎么做。
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\end{zhongwen}
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\end{enumerate}
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\end{document} |