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\documentclass[全部作业]{subfiles}
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% \documentclass[a4paper]{ctexart}
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\usepackage[margin=1in]{geometry} % 设置边距，符合Word设定
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% \usepackage{ctex}
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\usepackage{lipsum}
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\usepackage{amssymb, amsfonts, amstext, amsmath, amsopn, amsthm}
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% \usepackage{fontspec}
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\usepackage{minted}
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% \usepackage{shellesc}
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% \usepackage{regexpatch}
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% \usepackage{xpatch}
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% \usepackage{l3regex}
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\usepackage{expl3}
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\usepackage{environ}
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\usepackage{mylatex}
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% \setmainfont{Microsoft YaHei}
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% \setCJKmainfont{SimSun}
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\date{2023年9月14日}
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\begin{document}
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\chapter{集合论基础}
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\section{集合的概念和术语}
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\renewcommand{\labelenumii}{(\arabic{enumii})}
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\begin{enumerate}
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\item
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给出集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}的谓词表示法。
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$\{ x|x \in \mathbb{Z}, -3\le x\le 3 \}$
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\item
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判断2和{2}是否下列集合的元素。
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\begin{enumerate}
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\item
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$\{ x| {x\text{是大于1的整数}} \}$
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2是， {2}不是。
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\item
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$\{ x|x {\text{是某整数的平方}} \}$
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2不是，{2}不是。
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\item
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$\{ 2,\{ 2 \} \}$
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2是，{2}是。
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\item
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$\{ \{ 2 \},\{ \{ 2 \} \} \}$
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2不是，{2}是。
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\item
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$\{ \{ 2 \},\{ 2,\{ 2 \} \} \}$
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2不是，{2}是。
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\item
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$\{ \{ \{ 2 \} \} \}$
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||
2不是，{2}不是。
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\end{enumerate}
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\item
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下列哪些命题成立？哪些不成立？为什么？
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\begin{enumerate}
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\item
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$\emptyset \in \{ \emptyset,\{ \emptyset \} \}$
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成立。
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\item
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$\emptyset\subseteq \{ \emptyset,\{ \emptyset \} \} $
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成立。
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\item
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$\{ \emptyset \}\subseteq \{ \emptyset,\{ \emptyset \} \}$
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成立。
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\item
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$\{ \{ \emptyset \} \}\subseteq \{ \emptyset,\{ \emptyset \} \}$
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成立。
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\section{集合的运算}
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\renewcommand{\labelenumii}{(\arabic{enumii})}
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\begin{enumerate}
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\item
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设A是ECNU二年级学生的集合，B是ECNU必须学习离散数学的学生的集合。请用A和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。\\
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$A\setminus B$
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\item
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设A是集合，下列命题是否必定成立?
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\begin{enumerate}
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\item
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$A\in P(A)$\\
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是。
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\item
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$A \subseteq P(A)$\\
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否。
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\item
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$\{ A \}\in P(A)$\\
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||
否。
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\item
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$\{ A \} \subseteq P(A)$\\
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||
是。
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\end{enumerate}
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\item
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设A和B是任意集合，证明 $P(A)\cap P(B)=P(A\cap B)$。\\
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\begin{proof}
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\ExplSyntaxOn
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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证明：&\\
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&X \in P(A) \cap P(B)\\
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\Leftrightarrow &X \in P(A) 且 X \in P(B)\\
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\Leftrightarrow &X \subseteq A, X \subseteq B\\
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||
\Leftrightarrow &X \subseteq A \cap B\\
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||
\Leftrightarrow &X \in P(A \cap B)\\
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\therefore &P(A)\cap P(B) = P(A\cap B)\\
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||
\end{aligned}
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$$
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\end{zhongwen}
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\ExplSyntaxOff
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\end{proof}
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\item
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设A是任意集合，$A^3=(A×A)×A=A×(A×A)$是否成立？为什么？\\
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\ExplSyntaxOn
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\begin{zhongwen}
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||
$不一定，假设A=\{ 1 \}，则A^3=\{ (1,1,1) \}, (A\times A)\times A=\{ ((1,1),1) \}, A\times (A\times A)=\{ (1,(1,1)) \}$
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\end{zhongwen}
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||
\ExplSyntaxOff
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||
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\item
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设A、B、C和D是集合，证明：若A、B、C和D均非空集，且A×B=C×D，那么A=C且B=D。\\
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% {\ctex@fontset{middle}}
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\begin{proof}
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\ExplSyntaxOn
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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&假设 A \neq C 或 B \neq D\\
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&则\exists x, x \in A, x \notin C 或x \in C, x \notin A\\
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&或\exists y, y \in B, y \notin D 或y \in D, y \notin B\\
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||
&不妨设\exists x, x \in A, x \notin C\\
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&\because B 非空\\
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&\therefore 设b \in B\\
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||
&则(x,b) \in A\times B\\
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||
&\because x \notin C\\
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||
&\therefore (x,b) \notin C\times D\\
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||
&\therefore A\times B \neq C \times D\\
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||
&与已知矛盾\\
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||
&\therefore 若A、B、C和D均非空集，且A×B=C×D，\\
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||
&那么A=C且B=D。\\
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\end{aligned}
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||
$$
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||
% \endbf
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\end{zhongwen}
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\ExplSyntaxOff
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\end{proof}
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\item *编写一个程序，输入任意一个自然数n，输出P({1,2,…,n})的所有元素。 \\
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（JavaScript，Nodejs环境）
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\begin{minted}{javascript}
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const readline = require("readline");
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const rl = readline.createInterface({
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input: process.stdin,
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output: process.stdout,
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});
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let n;
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function get_pow_set(end_num) {
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end_num = parseInt(end_num);
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let pow_set = [[]];
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for (let i = 1; i <= end_num; i++) {
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pow_set = pow_set.concat(pow_set.map((ele) => {
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return ele.concat([i]);
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}));
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}
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return pow_set;
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}
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||
rl.question("", (answer) => {
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n = parseInt(answer);
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console.log(get_pow_set(n));
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rl.close();
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});
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\end{minted}
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\end{enumerate}
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\end{document} |