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\documentclass[全部作业]{subfiles}
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\usepackage{titlesec}
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\pagestyle{fancyplain}
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\fancyhead{}
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\fancyhead[C]{\mysignature}
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\setcounter{chapter}{2}
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\begin{document}
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% \titleformat{\chapter}{}
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\chapter{命题逻辑}
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\section{命题}
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\begin{enumerate}
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\myitem{下列语句哪些是命题？}{
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\item 2是正数吗？
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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||
不是。
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\end{aligned}
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$$
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\end{zhongwen}
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\item $x^{2}+x+1=0$
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\begin{zhongwen}
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||
$$
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\begin{aligned}
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是。
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\end{aligned}
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||
$$
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\end{zhongwen}
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\item 我要上学。
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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||
是。
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\end{aligned}
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||
$$
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\end{zhongwen}
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\item 明年2月1日下雨。
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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||
是。
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||
\end{aligned}
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||
$$
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\end{zhongwen}
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\item 如果股票涨了，那么我就赚钱。
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\begin{zhongwen}
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||
$$
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\begin{aligned}
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||
是。
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||
\end{aligned}
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||
$$
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||
\end{zhongwen}
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||
}
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\item 将当当网的图书高级搜索符号化：http://search.dangdang.com/AdvanceSearch/AdvanceSearch.aspx?c=0
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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||
&介质=\{\}\land 书名=\{\}\land 作者译者=\{\}\land 关键词=\{\}\land 出版社=\{\}\land ISBN=\{\}\land 包装=\{\} \\
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&\land 分类=\{\}\land \{最低价格\} \le 价格 \le \{最高价格\}\land \{最低折扣\}\le 折扣\le \{最高折扣\} \\
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||
&\land \{最早出版时间\}\le 出版时间\le \{最晚出版时间\}\land 库存状态=\{\} \\
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\end{aligned}
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$$
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\end{zhongwen}
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||
\item 请将语句“除非你已满16周岁，否则只要你身高不足1.2米就不能乘公园的滑行铁道”符号化。
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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&令p：你已满16周岁，q：你身高足1.2米，r：你能乘公园的滑行铁道。 \\
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&命题符号化为：\lnot p \to (\lnot q \to \lnot r) \\
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\end{aligned}
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$$
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\end{zhongwen}
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\item p、q、r为如下命题： \par
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\qquad p：你得流感了 \par
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||
\qquad q：你错过了最后的考试 \par
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||
\qquad r：这门课你通过了 \\
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||
请用自然语言表达命题$(p \to \lnot r)\lor (q \to \lnot r)$。
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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||
如果你得流感了，那么这门课你没通过，或者如果你错过了最后的考试，那么这门课你没通过。
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\end{aligned}
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$$
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||
\end{zhongwen}
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||
\myitem{判断下列命题的真值：}{
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\item \begin{zhongwen}
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$若1+1=3，则2+2=4$
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\end{zhongwen}
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\begin{zhongwen}
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||
$$
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\begin{aligned}
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||
最外层的蕴含式的前件为假，所以此命题的真值为1。
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\end{aligned}
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||
$$
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\end{zhongwen}
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\item \begin{zhongwen}
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$若鸟会飞，则1+1=3$
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\end{zhongwen}
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\begin{zhongwen}
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||
$$
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\begin{aligned}
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&在考虑例外的情况下（\exists 不会飞的鸟类）： \\
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&\qquad 最外层的蕴含式的前件为假，所以此命题的真值为1。 \\
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||
&在不考虑例外的情况下： \\
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&\qquad 最外层的蕴含式的前件为真，但后件为假，所以此命题的真值为0。 \\
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\end{aligned}
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$$
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\end{zhongwen}
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||
}
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\item 构造一个只含命题变量p、q和r的命题公式A，满足：p、q和r的任意一个赋值是A的成真赋值当且仅当p、q和r中恰有两个为真
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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||
A=(p\land q\land \lnot r)\lor (p\land \lnot q\land r)\lor (\lnot p\land q\land r)
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\end{aligned}
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$$
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\end{zhongwen}
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\end{enumerate}
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\section{等值演算}
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\begin{enumerate}
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\myitem{将下列两个命题符号化，并分别用真值表和等值演算的方法证明所得到的那两个命题公式是等值的。}{
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\item 你不会休息所以就不会工作，你没有丰富的知识所以你就不会工作。
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\item 你会工作所以一定会休息并具有丰富的知识。
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}
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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||
令&p：你会休息，q：你会工作，r：你有丰富的知识 \\
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||
则&(1)符号化为(\lnot p \to \lnot q)\land (\lnot r \to \lnot q) \\
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&(2)符号化为q \to p \land r \\
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\end{aligned}
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$$
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\end{zhongwen}
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\begin{proof}
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\begin{zhongwen}
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$$
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以下是真值表：
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$$
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\begin{longtable}{ccccc}
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\hline
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$p$ & $q$ & $r$ & $(\lnot p \to \lnot q)\land (\lnot r \to \lnot q)$ & $q \to p \land r$ \\
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\hline
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0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
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0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
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0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
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0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
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1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
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1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
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||
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
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1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
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||
\hline
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||
\end{longtable}
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||
$$
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||
\begin{aligned}
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||
以下是等值演算： \\
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(\lnot p \to \lnot q)\land (\lnot r \to \lnot q) & = (p\lor \lnot q)\land (r\lor \lnot q) \\
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& = (p\land r)\lor \lnot q \\
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& = \lnot q\lor (p\land r) \\
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& = q \to p\land r \\
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\end{aligned}
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$$
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$$
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所以(\lnot p \to \lnot q)\land (\lnot r \to \lnot q)与q \to p \land r等值。
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$$
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\end{zhongwen}
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||
\end{proof}
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||
\item 用等值演算的方法证明命题恒等式$p \to (q \to p)=\lnot p \to (p \to \lnot q)$
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\begin{proof}
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\begin{zhongwen}
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||
$$
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||
\begin{aligned}
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\lnot p \to (p \to \lnot q) & = p \lor (p \to \lnot q) \\
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& = p \lor (\lnot p \lor \lnot q) \\
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& = \lnot p \lor \lnot q \lor p \\
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& = p \to (\lnot q \lor p) \\
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& = p \to (q \to p) \\
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\end{aligned}
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$$
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\end{zhongwen}
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\end{proof}
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\myitem{一教师要从3名学生A、B和C中选派1$\sim $2人参加市级科技竞赛，需满足以下条件：}{
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\item 若A去，则C同去；
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\item 若B去，则C不能去；
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\item 若C不去，则A或B可以去。
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}
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问该如何选派？\\
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\begin{zhongwen}
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$$
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\begin{aligned}
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&令a：A去，b：B去，c：C去 \\
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则需满足：& \quad (a \to c)\land (b \to \lnot c) \land (\lnot c \to a \lor b)\land \lnot (a\land b\land c) \\
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&=(\lnot a \lor c)\land (\lnot b \lor \lnot c)\land (c \lor (a \lor b))\land (\lnot a\lor \lnot b\lor \lnot c) \\
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&=(\lnot a \lor c)\land (\lnot b \lor \lnot c)\land (a \lor b\lor c)\land (\lnot a\lor \lnot b\lor \lnot c) \\
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&=(\lnot a\lor \lnot b\lor c)\land (\lnot a\lor b\lor c)\land (\lnot a\lor \lnot b\lor \lnot c)\land (a\lor \lnot b\lor \lnot c)\land (a\lor b\lor c) \\
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||
&=\bigwedge M(0,3,4,6,7) \\
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||
&=\bigvee m(1,2,5) \\
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&=(\lnot a\land \lnot b\land c)\lor (\lnot a\land b\land \lnot c)\lor (a\land \lnot b\land c) \\
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||
\end{aligned}
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||
$$
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||
\begin{flalign*}
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||
即选派C或选派B或选派AC。&&\\
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\end{flalign*}
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\end{zhongwen}
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\end{enumerate}
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\end{document} |