\documentclass[全部作业]{subfiles}
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\begin{document}
\setcounter{chapter}{9}
\chapter{第十次作业}

\begin{enumerate}
    \questionandanswerProof[]{
        (简答题) 令主( prime)属性为至少在一个候选码中出现的属性。令$\alpha$和$\beta$为属性集，使得$\alpha \to \beta$成立但$\beta \to \alpha$不成立。令A为一个既不属于$\alpha$也不属于$\beta$的属性，并且$\beta \to A$成立。我们称A传递依赖( transitively dependent) 于$\alpha$。我们可以按如下方式重新定义3NF :关系模式R是关于函数依赖集F的3NF的条件是，R中没有非主属性A传递依赖于R的一个码。请证明这个新定义等价于原始定义。
    }{
        原始定义 $\implies $ 新定义：

        如果新定义不满足，即存在一个非主属性A传递依赖于R的一个码（设为$\alpha$），即$\alpha \to \beta \to A$且$\beta \not \to \alpha$。那么$\alpha \to A$不是一个平凡的函数依赖，且$\alpha$不是R的一个超码，且$\beta - \alpha$中存在至少一个属性不包含在R的候选码中，所以不满足原始定义。

        新定义 $\implies $原始定义：

        如果新定义满足，即R中没有非主属性A传递依赖于R的一个码，那么设R的函数依赖集为$F$，对$F^{+}$中所有形如$\alpha \to \beta$的函数依赖中：
        
        \mycircle{1}：如果$\alpha \to \beta$是一个平凡的函数依赖，那么自然满足原始定义；

        \mycircle{2}：如果$\alpha$是R的一个超码，那么也满足原始定义；

        \mycircle{3}：如果不满足\mycircle{1}和\mycircle{2}，那么$\beta - \alpha$中的每个属性都包含在R的候选码中。
    }
    \questionandanswerSolution[]{
        (简答题)
        8.21 请给出实践习题 8.1中模式R的一个无损的BCNF分解
        
        8.1 模式R=(A, B, C, D, E) ，函数依赖集F为
        
        {A->BC，CD->E，B->D，E->A}
    }{
        $R_1 = (B, D)$, $R_2 = (A, B, C, E)$。
        
        $R_1 \cap  R_2 = (B, )$，$(B, )$是$R_1$的主码，所以是无损分解。
    }
    \questionandanswerProof[]{
        (简答题) 8.27 请用阿姆斯特朗公理来证明分解律的有效性。
    }{
        证明分解律即：若有$a \to \beta \gamma$，则有$\alpha \to \beta$及$\alpha \to \gamma$。

        $$
        \begin{aligned}
        &\because \beta \subseteq \beta \gamma, \gamma \subseteq \beta \gamma \\
        &\therefore 根据自反律，\beta \gamma \to \beta, \beta \gamma \to \gamma \\
        &\because a \to \beta \gamma \\
        &\therefore 根据传递律，\alpha \to \beta, \alpha \to \gamma \\
        \end{aligned}
        $$
    }
    \questionandanswerSolution[]{
        (简答题)
8.34 请考虑模式R=(A, B, C, D, E, G, H)和函数依赖集F:

AB→CD

D→C

DE→B

DEH→AB

AC→DC

请使用3NF分解算法来生成R的3NF分解，并展示你的工作。这意味着:

a.所有候选码的列表。

b.F的一个正则覆盖。

c.算法的步骤及其解释。

d.最终的分解。
    }{
        所有候选码的列表为
        (A, B, E, H), (A, C, E, H), (D, E, H)。

        F的一个正则覆盖是
        $AB \to D, D \to C, DE \to B, DEH \to A, AC \to D$。

        最终的分解为$R_1 = (A, B, C), \quad R_2 = (C, D), \quad R_3 = (A, B, D, E, H)$。
    }
\end{enumerate}

\end{document}