\documentclass[全部作业]{subfiles}
\input{mysubpreamble}
\begin{document}
\setcounter{chapter}{6}
\section{布朗运动及其分布}
\subsection{练习题\thesection}
（\textcolor{red}{若无特别说明}，以下总设$B=\{ B(t)\ ;\ t\geqslant 0 \}$为标准布朗运动。）
\begin{enumerate}
    \questionandanswerSolution[2]{
        对任意$0<s<t$，求$B(s)+B(t)$的概率密度函数。
    }{
        首先，$B(s)$与$B(t)$不独立，所以需要进行变换，$B(s)+B(t)=2 B(s) + B(t)-B(s)$，而$B(s)$与$B(t)-B(s)$是独立的，且$B(s)\sim N(0,s)$, $B(t)-B(s)\sim N(0,t-s)$，所以
        $$
        B(s)+B(t)=2 B(s) + (B(t)-B(s)) \sim N(0, 4s+t-s)=N(0, 3s+t)
        $$
        所以$B(s)+B(t)$的概率密度函数为
        $$
        p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi (3s+t)}} e^{- \frac{x^{2}}{3s+t}}
        $$
    }
    \questionandanswer[3]{
        在例6.1.9假设下，（例6.1.9：记$\mu=(1,2,3)^{\mathrm{T}}$, $\mathrm{D} = \begin{pmatrix}
        1 & 1 & 1 \\
        1 & 4 & 2 \\
        1 & 2 & 9 \\
        \end{pmatrix}$，$(X_1,X_2,X_3) \sim N(\mu, \mathrm{D})$）
    }{}
    \begin{enumerate}
        \questionandanswer[]{
            求$X_2=2$时$(X_1,X_3)$的条件联合分布；
        }{
            交换$X_2$与$X_3$的位置，$\displaystyle (X_1,X_3,X_2) \sim N\left( \begin{bmatrix}
            1 \\
            3 \\
            2 \\
            \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}
            1 & 1 & 1 \\
            1 & 9 & 2 \\
            1 & 2 & 4 \\
            \end{bmatrix} \right) $，则$\tilde{\mu}=\begin{bmatrix}
            1 \\
            3 \\
            \end{bmatrix}, v=2$, $A=\begin{bmatrix}
            1 & 1 \\
            1 & 9 \\
            \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix}
            1 \\
            2 \\
            \end{bmatrix}, C=4$，
            $$
            \begin{aligned}
                (X_1,X_3)\sim &N(\tilde{\mu}+BC^{-1}(2-v), A-BC^{-1}B^{\mathrm{T}}) \\
                &=N\left( \begin{bmatrix}
                1 \\
                3 \\
                \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}
                1 & 1 \\
                1 & 9 \\
                \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
                1 \\
                2 \\
                \end{bmatrix} \frac{1}{4} \begin{bmatrix}
                1 & 2 \\
                \end{bmatrix} \right) = N\left( \begin{bmatrix}
                1 \\
                3 \\
                \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0.75 & 0.5\\0.5 & 8.0\end{bmatrix} \right) \\
             \end{aligned}
            $$
        }
        \questionandanswer[]{
            求$X_2=2, X_3=3$时$X_1$的条件分布。
        }{
            $\tilde{\mu} = 1, \bar{y}=\begin{bmatrix}
            2 \\
            3 \\
            \end{bmatrix}, v=\begin{bmatrix}
            2 \\
            3 \\
            \end{bmatrix}$, $A=1, B=\begin{bmatrix}
            1 & 1 \\
            \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix}
            9 & 2 \\
            2 & 4 \\
            \end{bmatrix}$，
            $$
            \begin{aligned}
            X_1 \sim &N\left( \tilde{\mu}+BC^{-1}(\bar{y}-v), A-BC^{-1}B^{\mathrm{T}} \right)  \\
            &=N\left( 1, 1-\begin{bmatrix}
            1 & 1 \\
            \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
            9 & 2 \\
            2 & 4 \\
            \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}
            1 \\
            1 \\
            \end{bmatrix} \right) =N\left( 1, \frac{23}{32} \right) \\
            \end{aligned}
            $$
        }
    \end{enumerate}
    \questionandanswer[4]{
        已知$B(1)=x$，对任意$0\leqslant s_1<s_2\leqslant s_3<s_4\leqslant 1$，证明
    }{}
    \begin{enumerate}
        \questionandanswerProof[]{
            $E((B(s_4)-B(s_3))(B(s_2)-B(s_1)))=(s_4-s_3)(s_2-s_1)(x^{2}-1)$,
        }{
            $$
            \begin{aligned}
                &E((B(s_4)-B(s_3))(B(s_2)-B(s_1))) \\
                &=\operatorname{Cov}(B(s_4)-B(s_3), B(s_2)-B(s_1)) + E(B(s_4)-B(s_3)) \cdot E(B(s_2)-B(s_1)) \\
                &=\operatorname{Cov}(B(s_4),B(s_2))-\operatorname{Cov}(B(s_4), B(s_1)) - \operatorname{Cov}(B(s_3), B(s_2))+\operatorname{Cov}(B(s_3), B(s_1)) \\ & + (E(B(s_4)) - E(B(s_3)))(E(B(s_2))-E(B(s_1))) \\
            \end{aligned}
            $$
            根据推论6.1.10，当$i<j$时，$\operatorname{Cov}(B(s_i),B(s_j))= s_i - s_i s_j$，$E(B(s_i))=s_i x$，所以
            $$
            \begin{aligned}
                &\text{上式}=s_2-s_2s_4 - s_1+s_1s_4-s_2+s_2s_3+s_1-s_1s_3 + (s_4 x-s_3x)(s_2x-s_1x) \\
                &= - s_{1} s_{3} + s_{1} s_{4} + s_{2} s_{3} - s_{2} s_{4} + x^{2} (s_{1} - s_{2}) (s_{3} - s_{4}) \\
                &=(s_4-s_3)(s_1-s_2)(x^{2}-1) \\
            \end{aligned}
            $$
        }
        \questionandanswerProof[]{
            $E\left[ (B(s_4)-B(s_1))^{2} \right] =(s_4-s_1)+(s_4-s_1)^{2}(x^{2}-1)$。
        }{
            仍然根据推论6.1.10，
            $$
            \begin{aligned}
            &E\left[ (B(s_4)-B(s_1))^{2} \right] =\operatorname{Var}[B(s_4)-B(s_1)]+[E(B(s_4)-B(s_1))]^{2} \\
            &=\operatorname{Var}[B(s_4)]+\operatorname{Var}[B(s_1)]-2\operatorname{Cov}(B(s_4),B(s_1))+[E(B(s_4))-E(B(s_1))]^{2} \\
            &=s_4-s_4^{2}+s_1-s_1^{2}-2(s_1+s_1s_4)+(s_4 x-s_1x)^{2} \\
            &=s_4-s_1+2s_1s_4-s_1^{2}-s_4^{2}+x^{2}(s_4-s_1) \\
            &=(s_4-s_1)+(s_4-s_1)(x^{2}-1) \\
            \end{aligned}
            $$
        }
    \end{enumerate}
    \questionandanswerSolution[5]{
        设$B$是方差参数$\sigma^{2}=3$的布朗运动，已知$B(1)=1,B(4)=4$，求$E(B(2)B(3))$和$E(B(3)B(5))$。
    }{
        由于$(B(1),B(2),B(3),B(4),B(5)) \sim N(\overrightarrow{0}, (i \land j)_{i,j=1,2,3,4})$，所以
        $$
        (B(2),B(3),B(5),B(1),B(4)) \sim N \left( \begin{bmatrix}
        0 \\
        0 \\
        0 \\
        0 \\
        0 \\
        \end{bmatrix}, 3\begin{bmatrix}
        2 & 2 & 2 & 1 & 2 \\
        2 & 3 & 3 & 1 & 3 \\
        2 & 3 & 5 & 1 & 4 \\
        1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
        2 & 3 & 4 & 1 & 4 \\
        \end{bmatrix} \right) 
        $$
        由于$B(1)=1,B(4)=4$，所以
        $$
        \begin{aligned}
            (B(2),B(3))\sim  &N (\tilde{\mu}+ BC^{-1}(\bar{y}-v), A-BC^{-1}B^{\mathrm{T}}) \\
            &=N\left( \begin{bmatrix}
            0 \\
            0 \\
            \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}
            1 & 2 \\
            1 & 3 \\
            \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
            1 & 1 \\
            1 & 4 \\
            \end{bmatrix}^{-1} \left( \begin{bmatrix}
            1 \\
            4 \\
            \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
            0 \\
            0 \\
            \end{bmatrix} \right) ,  3 \left(\begin{bmatrix}
            2 & 2 \\
            2 & 3 \\
            \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}
                1 & 2 \\
                1 & 3 \\
            \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
            1 & 1 \\
            1 & 4 \\
            \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}
                1 & 2 \\
                1 & 3 \\
            \end{bmatrix} ^{\mathrm{T}} \right) \right) \\
            &=N\left( \begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix} , \begin{bmatrix}2 & 1\\1 & 2\end{bmatrix} \right) \\
        \end{aligned}
        $$
        所以
        $$
        \bm{E(B(2)B(3))} = \operatorname{Cov}(B(2),B(3))+E(B(2))E(B(3)) = 1 + 2 \times 3 \bm{=7}
        $$
        同理，
        $$
        \begin{aligned}
            (B(3),B(5)) \sim &N(\tilde{\mu}+BC^{-1}(\bar{y}-v), A-BC^{-1}B^{\mathrm{T}})  \\
            &=N\left( \begin{bmatrix}
            0 \\
            0 \\
            \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
            1 & 3 \\
            1 & 4 \\
            \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
            1 & 1 \\
            1 & 4 \\
            \end{bmatrix}^{-1}\left( \begin{bmatrix}
            1 \\
            4 \\
            \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
            0 \\
            0 \\
            \end{bmatrix} \right) ,  3 \left(\begin{bmatrix}
            3 & 3 \\
            3 & 5 \\
            \end{bmatrix}- \begin{bmatrix}
            1 & 3 \\
            1 & 4 \\
            \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
            1 & 1 \\
            1 & 4 \\
            \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}
            1 & 1 \\
            3 & 4 \\
            \end{bmatrix} \right) \right) \\
            &=N\left( \begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix} ,  \begin{bmatrix}2 & 0\\0 & 3\end{bmatrix} \right) \\
        \end{aligned}
        $$
        所以
        $$
        \bm{E(B(3)B(5))} = \operatorname{Cov}(B(3),B(5))+E(B(3))E(B(5) ) =0 + 3\times 4 \bm{= 12}
        $$
    }
    \questionandanswerProof[7]{
        令$Y(t)=B^{2}(t)-t$, $R(t)=e^{c B(t)-c^{2}t /2}$，其中$c >0$为常数。证明对任意$0\leqslant t<s$，$E(Y(s)|B(t))=Y(t)$ 以及 $E(R(s)|B(t))=R(t)$。
    }{
        根据推论6.1.10，由于$t<s$，所以$E(B(s)|B(t))=B(t), \operatorname{Var}(B(s)|B(t))=s-t$，所以
        $$
        \begin{aligned}
        &\bm{E(Y(s)|B(t))}=E(B^{2}(s)-s|B(t)) = E(B^{2}(s)|B(t)) - E(s|B(t)) \\
        =&\operatorname{Var}(B(s)|B(t))+\left( E(B(s)|B(t)) \right) ^{2} - s \\
        =&s-t+(B(t))^{2}-s = B^{2}(t) - t  \bm{=T(t)} \\
        \end{aligned}
        $$
        $$
        \begin{aligned}
            &\bm{E(R(s)|B(t))} = E\left( e^{c B(s)-\frac{c^{2} s}{2}} \middle| B(t) \right)  = E\left( e^{c B(s)}\middle| B(t) \right) E\left( e^{- \frac{c^{2}s}{2}} \middle| B(t) \right)  \\
            =& E\left( e^{cB(t)}\ \middle|\ B(t) \right) E\left( e^{c(B(s) - B(t))} \middle| B(t) \right) E\left(e^{- \frac{c^{2}s}{2}}\ \middle|\ B(t)\right)  \\
            =&e^{cB(t)} e^{\frac{c^{2}(s-t)}{2}} e^{-\frac{c^{2}s}{2}} =e^{cB(t) - \frac{c^{2} t}{2}} \bm{= R(t)} \\
        \end{aligned}
        $$
    }
\end{enumerate}
\end{document}