\documentclass[全部作业]{subfiles}
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\begin{document}
\setcounter{chapter}{2}
\section{《随机过程》第三周作业}
\subsection{练习题\thechapter.\thesubsection}
\begin{enumerate}
    \questionandanswer[1]{
        试解释对离散参数随机过程而言,“不可区分”与“修正”等价。
    }{
        由于“不可区分”能推出“修正”，所以这里只需要说明对离散参数随机过程能从“修正”推出“不可区分”。

        设$X=\{ X_t; t\in T \}, Y=\{ Y_t; t \in T \}$都是概率空间$(\Omega, \mathfrak{F}, P)$上的随机过程。

        “修正”的原始定义为对$\forall t\in T, P(X_t=Y_t)=1$，将概率进行定义展开可得：$\forall t\in T, \exists A_t \in \mathfrak{F}$使得$P(A)=1$而且$\forall \omega\in A, X_t(\omega)=Y_t(\omega)$。

        “不可区分”的定义为$\exists A\in \mathfrak{F}$，使得$P(A)=1$而且$\forall t\in T, \forall \omega\in A, X_t(\omega)=Y_t(\omega)$。

        比较这两个定义可知在“修正”的定义中$A_t$的取法与$t$有关，而在“不可区分”的定义中$A$的取法与$t$无关。

        所以若$T$为离散参数集，且$X$与$Y$互为修正，则对每一个$t\in T$都能找到一个$A_t\in \mathfrak{F}$满足$P(A_t)=1, \forall \omega\in A_t, X_t(\omega)=Y_t(\omega)$。则$P(\overline{A_t})=0$，取$A=\displaystyle \bigcap_{t\in T} (A_t)$，则
        $$
        P(A)=P\left( \bigcap_{t\in T} A_t \right) =P\left( \overline{\bigcup_{t\in T} \overline{A_t}} \right) =1-P\left( \bigcup_{t\in T} \overline{A_t} \right) 
        $$
        由于$T$是离散集合，可列个零测集的并仍然是零测集，所以$\displaystyle P\left(\bigcup_{t\in T} \overline{A_t}\right)=0$，所以$P(A)=1$。而且$\forall \omega\in A, X_t(\omega)=Y_t(\omega)$，即$X$与$Y$不可区分。
    }
    \questionandanswerProof[5]{
        已知$\{ X(t)\ ;\  t\in [0,+\infty) \}$为平稳独立增量过程。对任意$s>0$，令$Y(t)=X(s+t)-X(s)$，证明$\{ Y(t)\ ;\ t\in [0,+\infty) \}$也是平稳独立增量过程。
    }{
        对于$\forall n\in \mathbb{Z}^{+},\forall t_1,t_2, \cdots ,t_n\in [0,+\infty), \forall i \in \{ 1,2, \cdots ,n-1 \}, $
        $$
        Y(t_{i+1}) - Y(t_i)=[X(s+t_{i+1})-X(s)]-[X(s+t_i)-X(s)]=X(s+t_{i+1})-X(s+t_i)
        $$
        因为$s>0$，所以$s+t_{i+1},s+t_i \in [0,+\infty)$，由$\{ X(t)\ ;\ t\in [0,+\infty) \}$是独立增量过程可知，$\{ X(s+t_{i+1})-X(s+t_i)\ ;\ i\in 1,2, \cdots ,n-1 \}$相互独立，即$\{ Y(t_{i+1})-Y(t_i)\ ;\ i\in 1,2, \cdots ,n-1 \}$相互独立，所以$\{ Y(t)\ ;\ t\in [0,+\infty) \}$是独立增量过程。下证“平稳”：

        对于$\forall t, t+h, w, w+h\in [0,+\infty)$，
        $$
        Y(t+h)-Y(t)=[X(s+t+h)-X(s)]-[X(s+t)-X(s)]=X(s+t+h)-X(s+t)
        $$
        同理，$Y(w+h)-Y(w)=X(s+w+h)-X(s+w)$。由于$s+t,s+t+h,\ s+w, s+w+h\in [0,+\infty)$，且$\{ X(t)\ ;\ t\in [0,+\infty) \}$是平稳独立增量过程，所以$X(s+t+h)-x(s+t)$与$X(s+w+h)-X(s+w)$的分布相同，即$Y(t+h)-Y(t)$与$Y(w+h)-Y(w)$的分布相同，所以$\{ Y(t)\ ;\ t\in [0,+\infty) \}$是平稳独立增量过程。
    }
    \questionandanswerProof[6]{
        证明伯努利过程不是独立增量过程。
    }{
        设随机过程$X=\{ X_n\ ;\ n\in \mathbb{Z}_{+} \}$是伯努利过程，则$\{ X_n\ ;\ n\in \mathbb{Z}_{+} \}$是独立同分布的随机变量序列，而且
        $$
        P(X_n=1)=p, \qquad P(X_n=0)=q=1-p, \quad 0<p<1
        $$
        则$X_1-X_0$的分布列为：
        \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
        \hline
         $X_1-X_0$ & $-1$ & $0$ & $1$ \\
         \hline
         $P$ & $pq$ & $p^{2}+q^{2}$ & $qp$ \\
        \hline
        \end{tabular}

        所以$P(X_0=1)=p,\ P(X_1-X_0=1)=qp$，
        而$P(X_0=1,X_1-X_0=1)=0$。
        显然$P(X_0=1)P(X_1-X_0=1)\neq P(X_0=1,X_1-X_0=1)$，因此$X_0$与$X_1-X_0$不独立，从而伯努利过程不是独立增量过程。
    }
\end{enumerate}
\end{document}