\documentclass[全部作业]{subfiles}

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\setcounter{chapter}{8}
\setcounter{section}{1}

\begin{document}
    \section{哈密顿图}
    \begin{enumerate}
        \item 说明下图不是哈密顿图。
        \begin{center}
            \includegraphics[width=0.3\linewidth]{imgs/2023-12-30-09-42-18.png}
        \end{center}
        
        \begin{zhongwen}
            由于在此图中找不到哈密顿回路，所以此图不是哈密顿图。
        \end{zhongwen}
        \item *证明任意竞赛图都有有向哈密顿通路。
        
        \begin{zhongwen}
            不会。
        \end{zhongwen}
        \item 为了测试计算机网络上的所有连接和设备，可以在网络上发一个诊断消息。为了测试所有的连接，应当使用什么种类的通路？为了测试所有的设备呢？ 
        
        \begin{zhongwen}
            为了测试所有的连接，应当使用欧拉通路；为了测试所有的设备，应当使用哈密顿通路。
        \end{zhongwen}
    \end{enumerate}

    \section{平面图}
    \begin{enumerate}
        \item 设简单连通图$G$有$n$个顶点、$e$条边。若$G$是平面图，请证明：$e\leqslant 3n-6$。\label{question:1}
        \begin{proof}
        \begin{zhongwen}
            
            因为$G$是简单图，所以其面的次数都不小于3，根据欧拉公式的推论，有
            $$
            e\leqslant \frac{3}{3-2}\times (n-2)=3n-6
            $$

        \end{zhongwen}
        \end{proof}

        \item 若简单连通图$G$有$n$个顶点、$e$条边，则$G$的厚度至少为$\left\lceil e/(3n-6) \right\rceil $。（简单图$G$的厚度是指$G$的平面子图的最小个数，这些子图的并是$G$。）
        \begin{proof}
        \begin{zhongwen}
            
            设$G$的厚度为$m$，则可以将$G$看做$m$个平面子图的并，将这些平面子图设为$G_1,G_2, \ldots G_m$，则$ G=\bigcup_{i=1}^{m} G_i$。对$\forall i=1,2, \ldots , m$，设$G_i$的顶点数为$n_i$，边数为$e_i$。则根据第 \ref{question:1} 题，有$0<e_i\leqslant 3 n_i - 6$，所以
            $$
            \forall i=1,2, \ldots ,m, \quad e_i\leqslant 3 n_i-6\leqslant 3n-6
            $$
            对不等式进行求和可得
            $$
            e \leqslant  \sum_{i=1}^{m}e_i \leqslant \sum_{i=1}^{m}(3n-6)=m(3n-6)
            $$
            所以有
            $$
            m\geqslant \frac{e}{3n-6}
            $$
            注意到$G$的厚度$m$为整数，所以$G$的厚度至少为$\left\lceil e/(3n-6) \right\rceil $。

        \end{zhongwen}
        \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{document}