\documentclass[全部作业]{subfiles}

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\setcounter{chapter}{5}

\begin{document}
    \chapter{函数}
    \section{函数的概念和性质}
    \begin{enumerate}
        \item $f:X \to Y$。对任意$M \subseteq X$，定义$f(M)=\{ f(x)\ |\ x\in M \}$。对于任意$A,B \subseteq X$，
        \begin{enumerate}
            \item 证明$f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$；
            \begin{proof}
                
            \begin{zhongwen}
                $\forall Z \in f(A\cup B)$,则$\exists x \in A\cup B$,使得$Z=f(x)$，因此$x\in A$或者$x\in B$。

                若$x\in A$，则$Z\in f(A)$；若$x\in B$，则$Z\in f(B)$。

                于是$Z\in f(A)\cup f(B)$。

                所以$f(A\cup B) \subseteq f(A)\cup f(B)$。\label{1}

                $\forall Z\in f(A)\cup f(B)$，则$Z\in f(A)$或$Z\in f(B)$。

                若$Z\in f(A)$，则$\exists x \in A$，使得$Z=f(x)$，因此$x\in A\cup B$，所以$Z\in f(A\cup B)$。

                所以$f(A)\cup f(B) \subseteq f(A\cup B)$。

                所以$f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$。
            \end{zhongwen}
            \end{proof}
            \item 举例说明$f(A\cap B)\neq f(A)\cap f(B)$。
            
            \begin{zhongwen}
                若$f,A,B$定义如下：
                $$
                f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^{2}
                $$
                $$A=(-\infty, 0]\quad B=[0,+\infty)$$

                则$f(A\cap B)=f(\{ 0 \})=\{ 0 \}$，$f(A)\cap f(B)=[0,+\infty)$，

                则$f(A\cap B)\neq f(A)\cap f(B)$。
            \end{zhongwen}
        \end{enumerate}

        \item $f:X \to Y$，下列命题是否成立？
        \begin{enumerate}
            \item $f$是一对一的当且仅当对任意$a,b \in X$，当$f(a)=f(b)$时，必有$a=b$。
            
            \begin{zhongwen}
                成立，即一对一的定义的逆否命题。
            \end{zhongwen}
            \item $f$是一对一的当且仅当对任意$a,b \in X$，当$f(a)\neq f(b)$时，必有$a\neq b$。
            
            \begin{zhongwen}
                不成立，取$X=\{ 1,2 \}$，$f(x)=\{ \{ 1,1 \},\{ 2,1 \} \}$。则$f$为$X$到$Y$的函数，且满足$\forall a,b \in X$，$f(a)\neq f(b) \Rightarrow a\neq b$，但$f$不是一对一的。
            \end{zhongwen}
        \end{enumerate}

        \item 下图展示了五个关系的关系图。问：这些关系中，哪些是函数？哪些是一对一的函数？哪些是到上的函数？哪些是一一对应？\\
        \includegraphics[width=1\linewidth]{imgs/2023-12-04-06-31-00.png}

        \begin{zhongwen}
            设从左到右分别为图1、2、3、4、5。

            图1、2、3、4是函数；

            图1、3是一对一的函数；

            图2、3是到上的函数；

            图3是一一对应的函数。
        \end{zhongwen}

        \item $f:X \to Y$, $g:Y \to Z$。命题“$f \circ g$是一对一的当且仅当$f$和$g$都是一对一的”是否成立？
        
        \begin{zhongwen}
            成立。

            若$f$和$g$都是一对一的，则$f \circ g$是一对一的为定理6.1.2，现给出证明如下：

            \begin{proof}
                
                由$f$是一对一的可知$\forall a,b \in X$且$a\neq b$，有$f(a)\neq f(b)$，而$g$也是一对一的，所以$g(f(a))\neq g(f(b))$，即$f\circ g(a)\neq f\circ g(b)$，所以$f\circ g$是一对一的。
                
            \end{proof}

            下证若$f\circ g$是一对一的，则$f$和$g$都是一对一的。

            \begin{proof}

                反证，若$f$和$g$都不是一对一的，则$\exists a,b \in X$，使得$f(a)=f(b)$，因此$g(f(a))=g(f(b))$，即$f\circ g(a)=f\circ g(b)$，所以$f\circ g$也不是一对一的。

            \end{proof}
        \end{zhongwen}
    \end{enumerate}
\end{document}