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\setcounter{section}{2}

\begin{document}
    \chapter{一阶逻辑}
    \section{谓词、量词和谓词公式}
    \begin{enumerate}
        \item 用谓词公式表达语句“所有的运动员都钦佩某些教练”，个体域为全总个体域。
        \begin{proof}[解]
        \begin{zhongwen}
            $$
            \begin{aligned}
            &由于个体域为全总个体域， \\
            &设P(x)表示x为运动员，Q(x)表示x为教练，R(x,y)表示x钦佩y， \\
            &注意到“某些”表示复数，则语句“所有的运动员都钦佩某些教练”可表示为： \\
            &\forall x(P(x) \to \exists y\exists z((y \neq z)\land Q(y)\land Q(z) \land R(x,y)\land R(x,z))) \\
            \end{aligned}
            $$
        \end{zhongwen}
        \end{proof}
        \item 用谓词公式表达语句“本班的学生都已学过微积分”，个体域分别取ECNU的学生集合和本班的学生集合。
        \begin{proof}[解]
        \begin{zhongwen}
            $$
            \begin{aligned}
            &当个体域取ECNU的学生集合时， \\
            &设P(x)表示x为本班的学生，Q(x)表示x已学过微积分， \\
            &则语句“本班的学生都已学过微积分”可表示为： \\
            &\forall x(P(x) \to Q(x)) \\
            &当个体域取本班的学生集合时， \\
            &设Q(x)表示x已学过微积分， \\
            &则语句“本班的学生都已学过微积分”可表示为： \\
            &\forall x Q(x) \\
            \end{aligned}
            $$
        \end{zhongwen}
        \end{proof}
        \item 用谓词公式表达语句“班上无人恰给另外两个同班同学发过电子邮件”，个体域取本班学生的集合。
        \begin{proof}[解]
        \begin{zhongwen}
            $$
            \begin{aligned}
            &由于个体域为本班学生的集合， \\
            &设P(x, y)表示x给y发过电子邮件， \\
            &则语句“班上无人恰给另外两个同班同学发过电子邮件”可表示为： \\
            &\lnot \exists x(\exists y\exists z((y\neq z)\land P(x,y)\land P(x,z)\land \forall w((w \neq y)\land (w\neq z) \to \lnot P(x,w)))) \\
            \end{aligned}
            $$
        \end{zhongwen}
        \end{proof}
        \item 将$\forall x(C(x)\lor \exists y(C(y)\land F(x,y)))$翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同班同学，个体域是学校全体学生的集合。
        \begin{proof}[解]
        \begin{zhongwen}
            $$
            \begin{aligned}
            &对于学校中的任何一个学生，他有电脑，或者存在一个他的同班同学有电脑。 \\
            \end{aligned}
            $$
        \end{zhongwen}
        \end{proof}
        \item 给定解释I如下：\\
        个体域$D: \{ -2,3,6 \}$；\\
        个体常元$a: 6$；\\
        谓词$P: 2 > 1, Q(x): x\leqslant 3, R(x): x>5$。\\
        求出谓词公式$\forall x(P \to Q(x))\lor R(a)$在解释I下的真值。
        \begin{proof}[解]
        \begin{zhongwen}
            $$
            \begin{aligned}
            &\forall x(P \to Q(x))\lor R(a)在解释I下的真值为： \\
            &((P \to Q(-2))\land (P \to Q(3))\land (P \to Q(6)))\lor R(6) \\
            &=(((2>1) \to (-2\leqslant 3))\land ((2>1) \to (3\leqslant 3))\land ((2>1) \to (6\leqslant 3)))\lor (6>5) \\
            &=((1 \to 1)\land (1 \to 1)\land (1 \to 0))\lor 1\\
            &=(1\land 1\land 0)\lor 1 \\
            &=0\lor 1 \\
            &=1 \\            
            \end{aligned}
            $$
        \end{zhongwen}
        \end{proof}
        \item[书上3.] 请将下列谓词公式翻译为汉语，并指出每个命题的真值，这里个体域为实数集。
        \begin{enumerate}
            \item $\forall x(x^{2}=x)$；
            \begin{zhongwen}
                $$
                对于任何一个实数x，都有x^{2}=x
                $$
                $$
                真值为0 
                $$
            \end{zhongwen}
            \item $\exists x(2x=x)$；
            \begin{zhongwen}
                $$
                存在一个实数x，满足2x=x
                $$
                $$
                真值为1
                $$
            \end{zhongwen}
            \item $\exists x(x^{2}+3x-2=x)$；
            \begin{zhongwen}
                $$
                存在一个实数x，使得x^{2}+3x-2=x
                $$
                $$
                真值为1
                $$
            \end{zhongwen}
            \item $\forall x(x-3<x)$；
            \begin{zhongwen}
                $$
                对于任意一个实数x，都有x-3<x
                $$
                $$
                真值为1
                $$
            \end{zhongwen}
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{document}