% \PassOptionsToClass{twocolumn}{ctexbook} % 这个得在设置文档类之前使用才有效
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\documentclass[全部作业]{subfiles}
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\columnseprule=1pt
\columnsep=30pt

\pagestyle{fancyplain}
\fancyhead{}
\fancyhead[C]{\mysignature}
\setcounter{chapter}{4}

\begin{document}
    \chapter{关系}
    \section{关系的概念}
    \begin{enumerate}
        \item 集合$X=\{a,b,c\}$上的一个关系R的关系矩阵如下，请写出这个关系。（注：矩阵的第1、2、3行以及第1、2、3列，分别对应X中的元素a、b、c）。
        $$
        \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\\end{bmatrix}
        $$
        \begin{proof}[解]
        \begin{zhongwen}
            $$
            \begin{aligned}
            R = \{ (a,a),(a,c),(b,b), (c,a), (c,c) \}
            \end{aligned}
            $$
        \end{zhongwen}
        \end{proof}
        \item 一集合上的一个关系的关系图如下图所示，请写出这个关系。
        \begin{center}
            \includegraphics[width=0.3\linewidth]{imgs/2023-11-11-10-13-03.png}
        \end{center}
        \begin{proof}[解]
        \begin{zhongwen}
            $$
            \begin{aligned}
            R=\{ (a,a),(a,b),(b,a),(b,b),\\(c,a),(c,c),(c,d),(d,d) \}
            \end{aligned}
            $$
        \end{zhongwen}
        \end{proof}
        \item 设X和Y都是有限集，$|X|=m$，$|Y|=n$。问X到Y的不同的关系有多少个？
        \begin{proof}[解]
        \begin{zhongwen}
            $$
            \begin{aligned}
            X到Y的不同的关系有2^{m\times n}个。
            \end{aligned}
            $$
        \end{zhongwen}
        \end{proof}
    \end{enumerate}
    \section{关系的运算}
    \begin{enumerate}
        \item 设R是X到Y的二元关系，S是Y到Z的二元关系，证明$(R \circ S)^{-1}=S^{-1}\circ R^{-1}$。
        \begin{proof}
        \begin{zhongwen}
            $$
            \begin{aligned}
            \forall (z, x),\qquad &(z, x)\in (R\circ S)^{-1} \\
            \iff& (x, z)\in R\circ S \\
            \iff&\exists y\in Y, \ \ \text{s.t.} \ (x,y)\in R \land (y,z)\in S \\
            \iff& \exists y\in Y,\ \ \text{s.t.} \ (y,x)\in R^{-1}\land (z,y)\in S^{-1} \\
            \iff&(z,x)\in S^{-1}\circ R^{-1} \\
            \end{aligned}
            $$
            $$
            \therefore (R\circ S)^{-1}=S^{-1}\circ R^{-1}
            $$
        \end{zhongwen}
        \end{proof}
        \item 设R、S、T都是X上的关系。证明：$R\circ (S\cap T)\subseteq (R\circ S)\cap (R\circ T)$, $(R\cap S)\circ T \subseteq (R\circ T)\cap (S\circ T)$。
        \begin{proof}
        \begin{zhongwen}
            $$
            \begin{aligned}
            &\forall (x,w)\in R\circ (S\cap T) \\
            &即 \exists y\in X,\ \ \text{s.t.} \ (x,y)\in R\land (y,w)\in S\cap T \\
            &\therefore (x,y)\in R, (y,w)\in S,(y,w)\in T \\
            &\therefore (x,w)\in R\circ S, (x,w)\in R\circ T \\
            &\therefore (x,w)\in (R\circ S)\cap (R\circ T) \\
            &\therefore R\circ (S\cap T)\subseteq (R\circ T)\cap (S\circ T) \\
            \end{aligned}
            $$
            $$
            \begin{aligned}
            &\forall (x,w)\in (R\cap S)\circ T \\
            &即\exists z\in X,\ \ \text{s.t.} \ (x,z)\in R\cap S\land (z,w)\in T \\
            &\therefore (x,z)\in R,(x,z)\in S,(z,w)\in T \\
            &\therefore (x,w)\in R\circ T,(x,w)\in S\circ T \\
            &\therefore (x,w)\in (R\circ T)\cap (S\circ T) \\
            &\therefore (R\cap S)\circ T \subseteq  (R\circ T)\cap (S\circ T) \\
            \end{aligned}
            $$
        \end{zhongwen}
        \end{proof}
    \end{enumerate}
    \section{关系的特殊性质及其闭包}
    \begin{enumerate}
        \item 下列关系是否是自反、反自反、对称、反对称和传递的？
        \begin{enumerate}
            \item 集合$X=\{1,2,…,9,10\}$，$X$上的关系$R=\{(x,y) | x+y=10\}$
            \item 任意集合$X$上的恒等关系$I_{X}$。
            \item 任意集合$X$上的空关系$\varnothing $。
            \begin{table}[H]
                \centering
                \tabcolsep=0.5em
                \begin{tabular}{c|ccccc}
                    \toprule
                    关系 & 自反 & 反自反 & 对称 & 反对称 & 传递\\
                    \midrule
                    (1) $R$   &否   & 否     & 是   & 否     & 否  \\
                    (2) $I_{X}$   &是   & 否     & 是   & 是     & 是  \\
                    (3) $\varnothing $   &否   & 是     & 是   & 是     & 是  \\
                    \bottomrule
                \end{tabular}
            \end{table}
        \end{enumerate}
        \item 设$X$是所有人组成的集合，定义$X$上的关系$R_1$和$R_2$：$aR_1b$当且仅当$a$比$b$高，$aR_2b$当且仅当$a$和$b$有共同的祖父母。问关系$R_1$和$R2$是否是自反、反自反、对称、反对称、传递的？
        \begin{table}[H]
            \centering
            \begin{tabular}{c|ccccc}
                \toprule
                关系 & 自反 & 反自反 & 对称 & 反对称 & 传递\\
                \midrule
                $R_1$ & 否 & 是 & 否 & 是 & 是 \\
                $R_2$ & 是 & 否 & 是 & 否 & 是 \\ 
                \bottomrule
            \end{tabular}
        \end{table}
        \item* 下面的论证试图证明：如果集合S上的关系R是对称和传递的，那么R必定也是自反的。请指出其中的错误。\\
        “由对称性，从xRy可推出yRx，再由传递性，可从xRy和yRx推出xRx。于是，对任意x$\in $S，xRx成立，所以R是自反的”
        \begin{proof}[解]
        \begin{zhongwen}
            $$
            \begin{aligned}
            &对于\forall x\in S,并不一定\exists y\in S,\ \ \text{s.t.} \ xRy \\
            &当\lnot\exists  y(y\in S\land xRy)时上述论证无效。 \\
            \end{aligned}
            $$
        \end{zhongwen}
        \end{proof}
        \item 证明：若$R$是$X$上自反和传递的关系，则$R^2$=$R$。
        \begin{proof}
        \begin{zhongwen}
            $$
            \begin{aligned}
            &\forall (x,z)\in R^{2}\\
            &\Rightarrow\exists y\in X,\ \ \text{s.t.} \ (x,y)\in R\land (y,z)\in R \\
            &\because R是传递的 \\
            &\therefore (x,z)\in R \\
            &\therefore R^{2} \subseteq R \\
            &\forall (x,z)\in R \\
            &\because R是自反的 \\
            &\therefore (z,z)\in R \\
            &\therefore (x,z) \in R^{2} \\
            &\therefore R \subseteq R^{2} \\
            &综上所述，R^{2}=R \\
            \end{aligned}
            $$
        \end{zhongwen}
        \end{proof}
        \item 设$X$是有限集，$|X|=n$。问$X$上有多少个不同的：
        \begin{enumerate}
            \item* 对称关系？
            \begin{zhongwen}
                $$
                即n维对称矩阵的个数，
                $$
                $$
                2^{\frac{n(n+1)}{2}}
                $$
            \end{zhongwen}
            \item* 反对称关系？
            \begin{zhongwen}
                $$
                \begin{aligned}
                &n维矩阵的每组对称位置只有00、01、10\\
                &三种情况，对角线每个位置可以为0或1，\\
                \end{aligned}
                $$
                $$
                3^{\frac{n(n-1)}{2}}\times 2^{n}
                $$
            \end{zhongwen}
            \item 既非自反又非反自反的关系？
            \begin{zhongwen}
                $$
                即对角线既不是全1，也不是全0的n维矩阵个数，
                $$
                $$
                (2^{n}-2)\times 2^{n^{2}-n}
                $$
            \end{zhongwen}
        \end{enumerate}
        \item 设$R_1$和$R_2$是$X$上的关系。证明$t(R_1\cup R_2)\supseteq t(R_1)\cup t(R_2)$。
        \begin{proof}
        \begin{zhongwen}
            $$
            \begin{aligned}
            &\because t(R)=\bigcup_{i=1} ^{\infty}R^{i} \\
            &\therefore 原式可转化为\bigcup_{i=1} ^{\infty}(R_1\cup R_2)^{i}\supseteq \bigcup_{j=1} ^{\infty}R_1^{j}\cup \bigcup_{k=1} ^{\infty}R_2^{k} \\
            &之后实在不会做了。 \\
            \end{aligned}
            $$
        \end{zhongwen}
        \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{document}