\documentclass[全部作业]{subfiles} \input{mysubpreamble} \begin{document} \setcounter{chapter}{3} \setcounter{section}{2} \section{练习题\thesection} \begin{enumerate} \questionandanswerSolution[1]{ 设$X$的状态空间为$\{ 1,2,3 \}$，转移概率矩阵为$\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \end{pmatrix}$，对任意$n\geqslant 1$，求$f_{1,2}^{(n)}$。 }{ $$ \begin{cases} F_{12}(u)=p_{12}u+p_{11}uF_{12}(u)+p_{13}uF_{32}(u)\quad \mycircle{1} \\ F_{22}(u)=p_{22}u+p_{21}uF_{12}(u)+p_{23}uF_{32}(u) \quad \mycircle{2} \\ F_{32}(u)=p_{32}u+p_{31}uF_{12}(u)+p_{33}uF_{32}(u) \quad \mycircle{3} \\ \end{cases} $$ 由\mycircle{1}和\mycircle{3}可得 $$ \begin{cases} F_{12}(u)=\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}uF_{32}(u) \\ F_{32}(u)=\frac{1}{2}u+\frac{2}{3}uF_{32}(u) \\ \end{cases} $$ 解得 $$ \begin{cases} F_{32}(u)=\frac{\frac{1}{2}u}{1-\frac{2}{3}u} \\ F_{12}(u)=\frac{1}{2}u+\frac{\frac{1}{4}u^{2}}{1-\frac{2}{3}u} \\ \end{cases} $$ 所以 $$ F_{12}(u)=\frac{1}{2}u+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4}u^{2}\left( \frac{2}{3}u \right) ^{n-1} = \frac{1}{2}u+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4} \left( \frac{2}{3} \right) ^{n-1} u^{n+1} = \frac{1}{2}u+ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} \right) ^{n-2} u^{n} $$ 综上，$\displaystyle f_{12}^{(1)}=\frac{1}{2}u, \quad f_{12}^{(n)}=\frac{1}{2}\left( \frac{2}{3} \right) ^{n-2}(n\geqslant 2)$。 } \questionandanswerSolution[2]{ 一个盗窃犯长期在$A=1,B=2,C=3$三地流传作案,治安部门调查后发现他每年作案次数服从强度为$3$的泊松分布,而连续两次作案的地点变化服从转移概率矩阵$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$，并且作案次数与作案地点无关。已知此人刚刚在$A$地作案，试估计一年内他在$A$地再作案的概率。 }{ 由题意可知，作案地点的变化为时齐马氏链，从而所求的概率为$\displaystyle E_{k\sim \operatorname{Poi}(3)}f_{11}^{(k)}$。 % 这里有个问题，如果$p_{21}=1,p_{22}=0$的话，那方程组中就没有$\frac{1}{2}u$这一项，那么$F_{21}(u)=0$？ $$ \begin{cases} F_{11}(u)=uF_{31}(u) & \mycircle{1} \\ F_{21}(u)=\frac{1}{2}uF_{11}(u)+\frac{1}{2}u &\mycircle{2} \\ F_{31}(u)=uF_{21}(u) &\mycircle{3} \\ \end{cases} $$ 由\mycircle{1}\mycircle{3}得$F_{11}(u)=u^{2}F_{21}(u)$，代入\mycircle{2}可得$F_{21}(u)=\frac{1}{2}u^{3}F_{21}(u)+\frac{1}{2}u$，解得$\displaystyle F_{21}(u)=\frac{\frac{1}{2}u}{1-\frac{1}{2}u^{3}}$，所以 $$ F_{11}(u)=\frac{\frac{1}{2}u^{3}}{1-\frac{1}{2}u^{3}}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}u^{3} \left( \frac{1}{2}u^{3} \right) ^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} u^{3n} $$ 令$k=3n$，则$f_{11}^{(k)}=\begin{cases} \left( \frac{1}{2} \right) ^{\frac{k}{3}},\quad & k=3n \\ 0,\quad & k\neq 3n \\ \end{cases}\ ,n\in \mathbb{Z}^{+}, k\in \mathbb{Z}^{+}$，所以 $$ E_{k\sim \operatorname{Poi}(3)}f_{11}^{(k)}=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \cdot \frac{3^{3n}}{(3n)!}e^{-3} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( 3 \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \right) ^{3n}}{(3n)!} e^{-3}=e^{3 \sqrt[3]{\frac{1}{2}}} e^{-3} = e^{\frac{3}{\sqrt[3]{2}}-3} $$ } \questionandanswerSolution[3]{ 设$X$的状态空间为$\{ 1,2,3 \}$，转移概率矩阵为$\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \end{pmatrix}$。求$f_{3,2}$和$m_{3,2}$。 }{ $$ \begin{cases} f_{32}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}f_{32},\quad & \mycircle{1} \\ f_{12}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}f_{12},\quad & \mycircle{2} \\ f_{22}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}f_{12},\quad & \mycircle{3} \\ \end{cases}\qquad \begin{cases} m_{32}=f_{32}+\frac{2}{3}m_{32},\quad & \mycircle{4} \\ m_{12}=f_{12}+\frac{1}{2}m_{22},\quad & \mycircle{5} \\ m_{22}=f_{22}+\frac{2}{3}m_{12},\quad & \mycircle{6} \\ \end{cases} $$ 由\mycircle{1}可得$f_{32}=1$，代入\mycircle{4}可得$m_{32}=3$。 } \questionandanswerSolution[4]{ 若一篇文稿有$n$个错误,每次校阅至少能发现一个,但留下来的错误数在$0$到$n-1$之间等可能存在.设原稿共有$a$个错误,问为了改正全部错误平均需要校阅几次? }{ 设随机过程$X$表示在某个时刻留下来的错误数，则$X$是时齐马氏链，状态空间为$\{1, 2, \cdots ,n-1\}$。$X$的转移概率矩阵为 $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{1}{n} & \frac{1}{n} & \frac{1}{n} & \cdots & 0 \\ \end{pmatrix}_{n\times n} $$ 所以 $$ \begin{cases} f_{10}=1 \\ f_{20}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}f_{10}=1 \\ f_{30}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}f_{10}+\frac{1}{3}f_{20}=1 \\ \cdots \\ f_{n0}=\frac{1}{n}+\sum_{i=1}^{n} f_{i0}=1 \\ \end{cases} \quad \begin{cases} m_{10}=f_{10} \\ m_{20}=f_{20}+\frac{1}{2}m_{10}=1+\frac{1}{2}\times 1=\frac{3}{2} \\ m_{30}=f_{30}+\frac{1}{3}m_{10}+\frac{1}{3}m_{20}=1+\frac{1}{3}\times 1+\frac{1}{3}\times \frac{3}{2}=\frac{11}{6} \\ \cdots \\ m_{n0}=f_{n0}+\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{n} m_{i0} \\ \end{cases} $$ 根据递推公式算出$m_{n0}$（不会算通项公式了），将$a$代入，则可知为了改正全部错误平均需要校阅$m_{a0}$次。 } \questionandanswerSolution[6]{ （Ehrenfest 模型）设一个坛子内装有红白两色共$N$个球，每次随机地从坛子中抽出一个球，把它换成另一种颜色后放回。以$X_n$表示经$n$次抽放后坛中的红球数，那么$X=\{ X_n\ ;\ n\geqslant 0 \}$为时齐马氏链。若开始时坛内只有一个红球，问平均要抽放多少次才能使坛内全是白球？ }{ 可以观察到$X$类似带反射壁的随机游动，但向中间收敛的概率更大，转移概率矩阵为 $$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \frac{1}{N} & 0 & \frac{N-1}{N} & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{N} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \frac{1}{N} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} $$ 开始时坛内只有一个红球，那么$X_0=1$，使坛内全是白球即$X_{?}=0$，所以所求的平均抽放次数为$m_{10}$。 由于这是元素有限的本质类，从而一定是常返类，所以$\forall i,j \in \{ 1,2, \cdots N \}, f_{ij}=1$，所以可以直接列出$m_{ij}$的方程组。 $$ \begin{cases} m_{00}&=1+m_{10} \\ m_{10}&=1+\frac{N-1}{N}m_{20}+\frac{1}{N}m_{00} \\ m_{20}&=1+\frac{2}{N}m_{10}+\frac{N-2}{N}m_{30} \\ \cdots \\ m_{n-1,0}&=1+\frac{N-1}{N}m_{n-2,0}+\frac{1}{N}m_{n0} \\ m_{n0}&=1+m_{n-1,0} \\ \end{cases} $$ 写成矩阵的形式为 $$ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -\frac{1}{N} & 1 & -\frac{N-1}{N} & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{2}{N} & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -\frac{1}{N} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m_{00} \\ m_{10} \\ m_{20} \\ \vdots \\ m_{n-1,0} \\ m_{n0} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} $$ 解得$m_{10}=\left( \begin{bmatrix} 1 & -1 & \cdots & 0 \\ -\frac{1}{N} & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{bmatrix} ^{-1} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \\ \end{bmatrix}\right)(1, 0)$即为使坛内全是白球的平均抽放次数。 } \begin{shaded} \item[\textbf{补}] （“赌徒输光模型”）考虑$\{ 0,1, \cdots ,N \}(N\geqslant 2)$上的$(q,p)$-简单随机游动（$0