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\setcounter{section}{2}

\begin{document}
    \section{范式和联结词的功能完备集}
    \begin{enumerate}
        \item 通过等值演算求$p \to (p\land (q \to p))$的主析取范式和主合取范式。
        \begin{proof}[解]
        \begin{zhongwen}
            $$
            \begin{aligned}
            p \to (p \land (q \to p))&=\lnot p\lor (p\land (\lnot q\lor p))=\lnot p\lor ((p\lor 0)\land (p\lor \lnot q)) \\
            &=\lnot p \lor (p\lor (0 \land \lnot q)) = \lnot p \lor p = 1 \\
            &=(p\land q)\lor (p\land \lnot q)\lor (\lnot p\land q)\lor (\lnot p\land \lnot q) \qquad (主析取范式)\\
            \end{aligned}
            $$
            $$
            因为原式为永真式，所以无主合取范式。
            $$
        \end{zhongwen}
        \end{proof}
        \item 证明$\{ \lnot ,\to  \}$是功能完备集。
        \begin{proof}
        \begin{zhongwen}
            $$
            \begin{aligned}
            &\lnot p=\lnot p \\
            &p\lor q=\lnot p \to q \\
            &\because \{ \lnot ,\lor \}是功能完备集 \\
            &\therefore \{ \lnot ,\to  \}是功能完备集 \\
            \end{aligned}
            $$
        \end{zhongwen}
        \end{proof}
    \end{enumerate}
    \section{命题逻辑的推理理论}
    \begin{enumerate}
        \item 证明$p \to (q \to s),q,p\lor \lnot r \Rightarrow r \to s$。
        \begin{proof}
        \begin{zhongwen}
        \begin{enumerate}[label=\mycircle{\arabic{enumii}},leftmargin=\linewidth/4,rightmargin=\linewidth/4]
            \item $r$\hfill 附加前提引入
            \item $p\lor \lnot r$ \hfill 前提引入
            \item $p$\hfill \mycircle{1}\mycircle{2}析取三段论
            \item $p \to (q \to s)$\hfill 前提引入
            \item $q \to s$\hfill \mycircle{3}\mycircle{4}假言推理
            \item $q$ \hfill 前提引入
            \item $s$ \hfill \mycircle{5}\mycircle{6}假言推理
        \end{enumerate}
        \end{zhongwen}
        \end{proof}
        \item 构造下列推理的形式证明：
        “今天下午没有出太阳并且今天比昨天冷。只有今天下午出太阳，我们才去游泳。若我们不去游泳，则我们乘独木舟游览。若我们乘独木舟游览，则我们在黄昏时回家。 所以，我们在黄昏时回家。” 
        \begin{proof}
        \begin{zhongwen}
            $$
            \begin{aligned}
            令&p:今天下午出太阳，q:今天比昨天冷，r:我们去游泳， \\
            &s:我们乘独木舟游览，t:我们在黄昏时回家 \\
            &则需要证明：\lnot p \land q,r \to p,\lnot r \to s, s \to t \Rightarrow t \\
            \end{aligned}
            $$
        \begin{enumerate}[label=\mycircle{\arabic{enumii}},leftmargin=\linewidth/4,rightmargin=\linewidth/4]
            \item $\lnot p\land q$\hfill 前提引入
            \item $\lnot p$\hfill \mycircle{1}化简
            \item $r \to p$\hfill 前提引入
            \item $\lnot r$\hfill \mycircle{2}\mycircle{3}拒取式
            \item $\lnot r \to s$\hfill 前提引入
            \item $s$\hfill \mycircle{4}\mycircle{5}假言推理
            \item $s \to t$\hfill 前提引入
            \item $t$\hfill \mycircle{6}\mycircle{7}假言推理
        \end{enumerate}
        \end{zhongwen}
        \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{document}