\documentclass[全部作业]{subfiles}
\input{mysubpreamble}
\begin{document}
\setcounter{chapter}{4}
\setcounter{section}{2}
\section{练习题\thesection}
\begin{enumerate}
    \questionandanswerProof[2]{
        证明，只要$\eta_1<1$，Galton-Watson过程所有非零状态都是非常返的。
    }{
        根据$\eta_0$的情况分类讨论，当$\eta_0>0$时，则对于任意状态$i \in \mathbb{N}^{+}$，$i \to 0$但$0 \not \to i$（$0$是吸收态），所以$i$非常返。

        当$\eta_0=0$时，则$\forall n \in \mathbb{N}$，$X_{n+1}\geqslant X_n$（所有个体都至少产生一个后代），则当$j > i$时$p_{ji}=0, \  f_{ji}=0$，所以对于状态$i\in \mathbb{N}^{+}$，
        $$
        f_{ii}=p_{ii} + \sum_{j=i+1}^{\infty} p_{ij} f_{ji} = p_{ii} 
        $$
        设$Y_{k}$表示服从后代分布的随机变量，则
        $$
        p_{ii} = P\left( \sum_{k=1}^{i} Y_k =i \right) = P(Y_{k}=1,\  k=1,2, \cdots ,i) = (\eta_1)^{i} < 1
        $$
        所以$f_{ii}<1$，即$i$非常返。
    }
    \questionandanswer[3]{
        假设在红细胞培养试验中红细胞的生存时间是1分钟，一个红细胞死亡时以1/4的概率生成两个红细胞，以2/3的概率产生一个红细胞一个白细胞，以1/12的概率产生两个白细胞，白细胞死亡后不会再生。再生的红细胞又按前面的概率再生，且彼此互不干扰。初始时只有一个红细胞。 
    }{}
    \begin{enumerate}
        \questionandanswerSolution[]{
            求在$n+0.5$分钟的培养过程中都没有白细胞的概率。
        }{
            设$X = \{ X_n\ ;\ n \geqslant 0 \}$为在第$n+0.5$分钟的时刻红细胞的数量，则$X$是G-W分支过程，后代分布为$\eta = (\eta_0=\frac{1}{12}, \eta_1=\frac{2}{3}, \eta_2=\frac{1}{4})$。因为每一时刻的白细胞都由上一时刻的红细胞产生，所以在$n+0.5$分钟的培养过程中都没有白细胞也即在$n-1+0.5$分钟的培养过程中产生的所有红细胞死亡时都没有产生白细胞，那么这些红细胞死亡时都产生了两个红细胞，所以所求的概率为
            $$
            \prod_{k=1}^{n-1} \left( \frac{1}{4} \right) ^{\left( 2^{k} \right) } = 2^{4 - 2^{n + 1}}
            $$
        }
        \questionandanswerSolution[]{
            在整个细胞培养过程中，细胞最终灭绝。求该现象发生的概率。
        }{
            由于白细胞死亡后不会再生，所以只需要考虑红细胞的灭绝概率，即分支过程$X$的灭绝概率。后代分布的概率母函数为$\eta(s)=\frac{1}{4}s ^{2}+\frac{2}{3}s+\frac{1}{12}$，解$\eta(s)=s$得：$s_1=\frac{1}{3},s_2=1$。所以该分支过程的灭绝概率为$\bm{\frac{1}{3}}$。
        }
    \end{enumerate}
    \questionandanswerSolution[4]{
        假设分支过程$X$的初值为$m\geqslant 1$，后代分布的概率母函数为$\eta(s)=1-p+ps$，其中$0<p<1$，求该分支过程灭绝时间的分布。
    }{
        初值为1时，$\forall n \in \mathbb{N}$，设$X_n$的概率母函数为$\Phi_{n}$，则$\Phi_{n+1}(s)=1-p+p \Phi_{n}(s)$，所以$\Phi_{n+1}(s)-1 = p(\Phi_{n}(s)-1)$，$\Phi(s)=\eta(s)=1-p+ps$。
        所以
        $
        \Phi_{n}(s) = p^{n} (s-1) + 1
        $。

        初值为$m\geqslant 1$时，由于初始分布中的个体互相独立，所以整个分支过程灭绝相当于初始的每个个体所在的分支都灭绝，则$P_m(\tau_0\leqslant k)=[P_1(\tau_0\leqslant k)]^{m}=[\Phi_{k}(0)]^{m}$
        ，从而
        $$
        \bm{\forall k\geqslant 1, \ P_{m}(\tau_0=k)}=P_m(\tau_0\leqslant k)-P_m(\tau_0\leqslant k-1)\bm{=\left( 1-p^{k} \right) ^{m}-\left( 1-p^{k-1} \right) ^{m}}
        $$
        此即为该分支过程灭绝时间的分布。
    }
    \questionandanswerSolution[5]{
        已知分支过程$X$的后代分布概率母函数$\eta(s)=1/(3-2s)$，而且$X_0=k$，求在过程灭绝条件下存活过的粒子平均数。
    }{
        当$X_0=1$时在过程灭绝条件下存活过的粒子平均数为$\frac{1}{1-\eta'(q)}$，那么当$X_0=k$时，由于各初始个体互相独立地产生后代，所以在过程灭绝条件下存活过的粒子平均数为$\frac{k}{1-\eta'(q)}$。

        由$\eta(s)=\frac{1}{3-2s}=s$可解得$s_1=\frac{1}{2},\ s_2=1$，所以灭绝概率$q=\frac{1}{2}$，所以$\eta'(q)= \frac{2}{(3-2q)^{2}}= \frac{1}{2}$，所以在过程灭绝条件下存活过的粒子平均数为
        $$
        E\left( \sum_{i=0}^{\infty} X_i \middle| \tau_0<\infty\right) =\frac{k}{1-\eta'(q)}= \frac{k}{1-\frac{1}{2}} = \bm{2 k}
        $$
    }
    \questionandanswerSolution[6]{
        假设$X$是初值为1的Galton-Watson分支过程。后代分布的概率母函数为
        $$
        g(s)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}s+\frac{1}{6}s ^{2}
        $$
        以$M$表示该过程存活过但没有后代的粒子数量，求$E(M)$。
    }{
        先求灭绝概率，$g(s)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}s+\frac{1}{6} s^{2} = s$解得$s_1=1,\ s_2=3$，所以灭绝概率$q = 1$，所以$m = g'(1)=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\times 2 = \frac{2}{3}$，则该过程存活过的粒子平均数为
        $$
        E\left( \sum_{k=0}^{\infty} X_k \right)  = \frac{1}{1-g'(1)} = \frac{1}{1-\frac{2}{3}} = 3
        $$
        从后代分布的概率母函数可知每个粒子没有后代的概率为$\frac{1}{2}$，所以
        $$
        \bm{E(M)} = \frac{1}{2} E\left( \sum_{k=0}^{\infty} X_k \right) \bm{ = \frac{3}{2}}
        $$
    }
    % \vspace{-2em}
    % \linespread{0}
    % \setlength{\parskip}{0em}
    \questionandanswerProof[7]{
        设$X$为G-W分支过程，$\tau_0$是灭绝时间。证明$E_k\left( s^{\tau_0} \right) \geqslant \left[ E_1\left( s^{\tau_0} \right)  \right] ^{k}$。
    }{
        % \vspace{-2em}
        % \hspace{1em} 实在是不会了。
        设$\tau_0^{(i)}$表示初始第$i$个个体所在分支的灭绝时间，则
        $$
        E_k(s^{\tau_0})=E(s^{\tau_0}| X_0=k)=E\left(s^{\max \left\{ \tau_0^{(1)}, \cdots \tau_0^{(k)} \right\}}\right)
        $$
        因为$0\leqslant s\leqslant 1$且$\max \{ \tau_0^{(1)}, \cdots \tau_0^{(k)} \} \leqslant  \sum_{i=1}^{k} \tau_0^{(i)}$，所以
        $$
        \text{上式} \geqslant E\left( s^{\sum_{i=1}^{k} \tau_0^{(i)}} \right) =E\left( \prod_{i=1}^{k} s^{\tau_0^{(i)}} \right) \xlongequal{\tau_0^{(i)}\text{独立}}\prod_{i=1}^{k} E\left( s^{\tau_0^{(i)}} \right) =\left[ E_1\left( s^{\tau_0} \right)  \right] ^{k}
        $$
        所以$E_k\left( s^{\tau_0} \right) \geqslant \left[ E_1\left( s^{\tau_0} \right)  \right] ^{k}$。
    }
\end{enumerate}
\end{document}