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\documentclass[全部作业]{subfiles}
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\input{mysubpreamble}
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\begin{document}
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\setcounter{chapter}{1}
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\section{《随机过程》第二周作业}
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\setcounter{subsection}{2}
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\subsection{练习题\thechapter.\thesubsection}
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\begin{enumerate}
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\questionandanswerProof[1]{
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设$X$是连续型非负随机变量，证明$L_{X}(t)$在$[0,+\infty)$内是一致连续的。
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}{
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% 注意到$f(t)=e^{-t}$在$[0,+\infty)$内是一致连续的，即$\forall \varepsilon>0, \exists \delta_0 >0, \forall t_1,t_2 \in [0,+\infty)$，且$\left\vert t_1-t_2 \right\vert <\delta_0$，都有$\left\vert e^{-t_1}-e^{-t_2} \right\vert <\dfrac{\varepsilon}{Ee^{X}}$，所以$Ee^{X}\left\vert e^{-t_1}-e^{-t_2} \right\vert <\varepsilon$，即$\left\vert Ee^{-t_1X}-Ee^{-t_2X} \right\vert =Ee^{-t_1X}(1-e^{(t_1-t_2)X})$
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设$X$的概率密度函数为$p(x)$。使用点列式等价定义，$\forall t_{1n}, t_{2n}\in [0,+\infty)$且$\left\vert t_{1n}-t_{2n} \right\vert \to 0$
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$$
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\begin{aligned}
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&\left\vert L_{X}(t_{1n})-L_{X}(t_{2n}) \right\vert = \left\vert Ee^{-t_{1n}X}-Ee^{-t_{2n}X} \right\vert =\left\vert E(e^{-t_{1n}X}-e^{-t_{2n}X}) \right\vert \\
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&=\left\vert \int_{0}^{+\infty} (e^{-t_{1n}x}-e^{-t_{2n}x})p(x) \mathrm{d}x \right\vert =\left\vert \int_{0}^{+\infty} e^{-t_{1n}x}(1-e^{(t_{1n}-t_{2n})x}) p(x)\mathrm{d}x \right\vert \\
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&\leqslant \left\vert \int_{0}^{+\infty} (1-e^{(t_{1n}-t_{2n})x}) p(x)\mathrm{d}x \right\vert \\
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\end{aligned}
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$$
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根据积分中值定理，$\exists \xi \in [0,+\infty) $，使得
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$$
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\left\vert \int_{0}^{+\infty} (1-e^{(t_{1n}-t_{2n})x})p(x) \mathrm{d}x \right\vert =(1-e^{(t_{1n}-t_{2n})\xi}) \int_{0}^{+\infty} p(x) \mathrm{d}x=1-e^{(t_{1n}-t_{2n})x}
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$$
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因为$\left\vert t_{1n}-t_{2n} \right\vert \to 0$，所以$1-e^{(t_{1n}-t_{2n})x} \to 0$，因此$\left\vert L_{X}(t_{1n}-t_{2n}) \right\vert \to 0$，从而$L_{X}(t)$在$[0,+\infty)$内是一致收敛的。
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}
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\questionandanswer[5]{
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设独立同分布的标准正态分布随机变量簇$W_m,m>1$与$\{ N(n),n\geqslant 1 \}$独立，其中$N(n)$服从泊松分布$P(n)$。令$Y_n=\sum_{k=1}^{N(n)}W_k$。求$Y_n$的特征函数，并证明$n \to +\infty$时$\dfrac{Y_n}{\sqrt{n}}$依分布收敛到一个服从标准正态分布的随机变量。
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}{
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\begin{solution}
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$Y_n$的特征函数为
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$$
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\begin{aligned}
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\psi_{Y_n}(t)=E e^{it Y_n}=Ee^{it \sum_{k=1}^{N(n)}W_k}=E e^{\sum_{k=1}^{N(n)}it W_k}=E \prod_{k=1}^{N(n)} e^{it W_k}
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\end{aligned}
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$$
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根据重期望公式，
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$$
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\text{上式}=E\left( E \left(\left. \prod_{k=1}^{N(n)} e^{it W_k} \right| N(n)=p \right) \right)
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$$
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由于$W_k$独立同分布且服从标准正态分布，所以
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$$
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E\left( \left. \prod_{k=1}^{N(n)} e^{it W_k} \right|N(n)=p \right) =\prod_{k=1}^{p} E e^{it W_k}= \prod_{k=1}^{p} \psi_{W_1}(t)= \left[ \psi_{W_1}(t) \right] ^{p}=\left[ e^{-\frac{t^{2}}{2}} \right] ^{p}=e^{-\frac{p t^{2}}{2}}
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$$
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所以
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% = e^{- n} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{n^{k} e^{- \frac{k t^{2}}{2}}}{\Gamma(k + 1)}
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$$
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\psi_{Y_n}(t)=E \left( e^{-\frac{t^{2}N(n)}{2}} \right) = \sum_{k=1}^{\infty}e^{- \frac{t^{2}k}{2}} \frac{n^{k}}{k!}e^{-n}
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% = e^{- \frac{nt^{2}}{2}}
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$$
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\end{solution}
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\begin{proof}
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根据特征函数的性质，
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$$
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\psi_{\frac{Y_n}{\sqrt{n}}}(t)=\psi_{Y_n}\left( \frac{t}{\sqrt{n}} \right)
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% =e^{-\frac{n \left( \frac{t}{\sqrt{n}} \right) ^{2}}{2}}=e^{-\frac{t^{2}}{2}}
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= \sum_{k=1}^{\infty}e^{-\frac{\left( \frac{t}{\sqrt{n}} \right) ^{2} \cdot k}{2}} \frac{n^{k}}{k!}e^{-n} = e^{- n} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{n^{k} e^{- \frac{k t^{2}}{2 n}}}{k!}
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$$
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当$n \to +\infty$时上式$\to e^{-\frac{t^{2}}{2}}$，即$\frac{Y_n}{\sqrt{n}}$的特征函数收敛到标准正态分布的特征函数。根据特征函数的唯一性，则$n \to +\infty$时$\frac{Y_n}{\sqrt{n}}$依分布收敛到一个服从标准正态分布的随机变量。
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\end{proof}
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}
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\questionandanswerSolution[7]{
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若随机变量$X$的分布列为$P(X=n)=\frac{n}{2^{n+1}},n\geqslant 1$，求$X$的概率母函数$\phi(s)$。
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$$
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\phi(s)=E s^{X}=\sum_{n=1}^{\infty}s^{n} \cdot \frac{n}{2^{n+1}} = \frac{s}{(s - 2)^{2}}\ , \quad s \in [-1,1]
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$$
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}
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\questionandanswerSolution[8]{
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已知概率母函数$\phi(s)=s+ \frac{1}{1+\gamma}(1-s)^{1+\gamma}, \gamma\in (0,1]$，求对应的概率分布列。
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$$
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P(X=k)=\frac{\phi^{(k)}(0)}{k!}
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$$
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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对$\phi(s)$求各阶导数：
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$$
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\phi^{(k)}(x)=\begin{cases}
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s+ \frac{1}{1+\gamma}(1-s)^{1+\gamma},\quad & k=0 \\
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1-(1-s)^{\gamma},\quad & k=1 \\
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\displaystyle (-1)^{k}(1-s)^{\gamma-k+1} \prod_{i=0}^{k-2} (\gamma-i),\quad & k\geqslant 2 \\
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\end{cases};
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$$
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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所以
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$$
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\phi^{(k)}(0)=\begin{cases}
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\frac{1}{1+\gamma},\quad & k=0 \\
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0,\quad & k=1 \\
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\displaystyle (-1)^{k}\prod_{i=0}^{k-2} (\gamma-i),\quad & k\geqslant 2 \\
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\end{cases}
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$$
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\end{minipage}
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所以对应的概率分布列为
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$$
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P(X=k)=\begin{cases}
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\frac{1}{1+\gamma},\quad & k=0 \\
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0,\quad & k=1 \\
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\displaystyle \frac{(-1)^{k}}{k!}\prod_{i=0}^{k-2}(\gamma-i) ,\quad & k\geqslant 2 \\
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\end{cases}
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$$
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}
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\end{enumerate}
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\pagebreak[4] % 不知道为什么这行如果强度改成4会导致页码问题
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\subsection{练习题\thechapter.\thesubsection}
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\begin{enumerate}
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\questionandanswerProof[1]{
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若存在随机变量$X$使得随机序列$\dfrac{S_n}{n}\xlongrightarrow{a.s.}X$成立，而且非负整数值随机序列$N_n \xlongrightarrow{a.s.}\infty$成立。证明$\dfrac{S_{N_n}}{N_n}\xlongrightarrow{a.s.}X$。
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}{
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对于$\forall \varepsilon>0$，由$\frac{S_n}{n} \xlongrightarrow{a.s.} X$的等价定义，$\exists A \in \Omega$满足$P(A)=0$，对$\forall \omega \in \Omega A$以及$\forall \varepsilon>0$，$\exists N=N(\varepsilon,\omega)$，使得当$n>N$时$\left\vert \frac{S_n(\omega)}{n}-X(\omega) \right\vert <\varepsilon$
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对于上述的$N$，由$N_n\xlongrightarrow{a.s.}\infty$的等价定义，$\exists A'\in \Omega$满足$P(A')=0$，对$\forall \omega' \in \Omega A$，$\exists M=M(\varepsilon,\omega)$，使得当$n>M$时$N_n(\omega')> N$，再由上述叙述可知$\left\vert \displaystyle \frac{S_{N_n(\omega')}(\omega)}{N_n(\omega')}-X(\omega) \right\vert <\varepsilon$
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因此$\displaystyle \frac{S_{N_n}}{N_n}\xlongrightarrow{a.s.}X$
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\questionandanswer[2]{
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证明：若对任意$\varepsilon>0$，存在$N$使得当$ n>N$时$P(\left\vert X_n-X \right\vert <\varepsilon)=1$，那么$X_n\xlongrightarrow{a.s.}X$。举例说明逆命题不成立。
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\begin{proof}
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由于$P(\left\vert X_n-X \right\vert <\varepsilon)=1 \Rightarrow P(\left\vert X_n-X \right\vert \geqslant \varepsilon)=0$，
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题中条件可转换为
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$$
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\text{对}\forall \varepsilon>0, P\left( \bigcap_{N=1} ^{\infty}\bigcup_{n=N} ^{\infty}\{ \left\vert X_n-X \right\vert \geqslant \varepsilon \}\right)=0
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$$
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所以$X_n\xlongrightarrow{a.s.}X$。
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\end{proof}
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当$P(\left\vert X_n-X \right\vert \geqslant \varepsilon)=0$但$P(\left\vert X_n-X \right\vert <\varepsilon)\neq 1$时，逆命题不成立。
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\questionandanswerProof[4]{
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设$f(x)$在$[0,+\infty)$上连续有界，单调上升且$f(0)=0$，证明随机变量$X_n$依概率收敛于0当且仅当$\displaystyle \lim_{n \to \infty}E(f(\left\vert X_n \right\vert ))=0$。
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若$X_n \xrightarrow{P} 0$，则$\forall \varepsilon>0, P(\left\vert X_n \right\vert >\varepsilon) \to 0$，由于$f(x)$的单调性，$P(f(\left\vert X_n \right\vert )>f(\varepsilon)) \to 0$。
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令$\varepsilon \to 0$，则$f(\varepsilon)\to f(0)=0$，所以$P(f(\left\vert X_n \right\vert )>0)\to 0$。
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因为$\left\vert X_n \right\vert \geqslant 0$，且$f(x)$单调上升且$f(0)=0$，所以$f(\left\vert X_n \right\vert )\geqslant 0$，因此$P(f(\left\vert X_n \right\vert )=0)\to 1$。
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$f(\left\vert X_n \right\vert )$在0处的概率趋向于1，所以$\displaystyle \lim_{n \to \infty}E(f\left\vert X_n \right\vert )=0$。
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另一方向：
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若$\displaystyle \lim_{n \to \infty}E(f(\left\vert X_n \right\vert ))=0$，由于$f(\left\vert X_n \right\vert )$是非负随机变量，所以期望为0等价于在0处的概率为1，即$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P(f(\left\vert X_n \right\vert )=0)=1$，即$P(f(\left\vert X_n \right\vert )=0)\to 1$。
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由于$f(\left\vert X_n \right\vert )\geqslant 0$，所以$P(f(\left\vert X_n \right\vert )>0)\to 0$。
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再根据$f(x)$的单调性，$P(\left\vert X_n \right\vert >0) \to 0$。
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因此$\forall \varepsilon>0, P(\left\vert X_n \right\vert >\varepsilon) \to 0$，即$X_n$依概率收敛于0。
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\questionandanswerProof[5]{
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设$\{ X_k;k\geqslant 1 \}$为一列相互独立随机变量，而且对任意$k\geqslant 1$，$E(X_k)=0$，$\operatorname{Var}(X_k)=k$。对任意$n\geqslant 1$，令$\displaystyle Y_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{X_k}{k}$。
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证明对任意$r>\dfrac{1}{2}$，当$n \to \infty$时$\dfrac{Y_n}{n^{r}}$几乎必然收敛到0。
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要证$\dfrac{Y_n}{n^{r}}\xrightarrow{a.s.}0$，即证$\forall \varepsilon>0, \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}P\left( \left\vert \frac{Y_n}{n^{r}}\right\vert>\varepsilon \right) <\infty $。
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由马尔可夫不等式，
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\displaystyle P\left( \left\vert \frac{Y_n}{n^{r}} \right\vert >\varepsilon \right) <\frac{E\left\vert \frac{Y_n}{n^{r}} \right\vert }{\varepsilon}=\frac{E\left\vert \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{X_k}{k} \right\vert }{n^{r}\varepsilon}
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$$
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由于$\operatorname{Var}(X_k)=k, std(X_k)=\sqrt{k}$且$E(X_k)=0$，所以$std(\frac{X_k}{k})=\frac{1}{\sqrt{k}}$，所以$\operatorname{Var}(\frac{X_k}{k})=\frac{1}{k}$。
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$$
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E\left\vert \sum_{k=1}^{n}\frac{X_k}{k} \right\vert \leqslant \left\vert \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} \right\vert \leqslant \left\vert \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{n}} \right\vert = \frac{n}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}
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$$
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所以
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$$
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P\left( \left\vert \frac{Y_n}{n^{r}} \right\vert >\varepsilon \right) < \frac{\sqrt{n}}{n^{r}\varepsilon}=n^{\frac{1}{2}-r}\varepsilon
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$$
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对$\forall r>\frac{1}{2}$，当$n \to \infty$时$n^{\frac{1}{2}-r} \to 0$。
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所以$\forall \varepsilon>0, \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}P\left( \left\vert \frac{Y_n}{n^{r}} \right\vert >\varepsilon \right) $收敛。
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因此$\forall r>\frac{1}{2}$，当$n \to \infty$时$\displaystyle \frac{Y_n}{n^{r}}$几乎必然收敛到0。
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}
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\end{enumerate}
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\end{document}
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